浙江省温州市第二外国语学校 32500
说明
“向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,向量理论具有丰富的物理背景、深刻的数学内涵。向量既是代数研究对象,也是几何研究对象,是沟通几何与代数的桥梁,是进一步学习和研究其他数学领域的基础,在解决实际问题中发挥着重要作用。
它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景……能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力.”
为了深入研究新课标、新课程、新理念,笔者在上述理念的启导下,在自己所在学校开设了一节公开课——用向量法研究三角形的性质(选自人教社必修第二册第六章),受到了其他教师的一致好评.现对这节课的课堂教学过程简录如下,并根据课后大家的点评以及个人的体会和看法做些分析,供大家参考,如有不妥之处敬请同行批评指正.
教学过程简录
2.1导言引入,设置悬念
教师:前面我们一起学习了向量的线性运算和数量积运算,因为有了运算,向量的力量无限.(学生笑了笑,并示意的点了点头)
教师:今天我要带领大家再一次来回味一下本章内容的章节导言.(“哦!……”学生发出一阵诧异和期待的声音)
教师:课本1页平面向量的章节导言中有着这么两段话:
(多媒体课件演示,以下不再注明)
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,向量理论具有丰富的物理背景、深刻的数学内涵。向量既是代数研究对象,也是几何研究对象,是沟通几何与代数的桥梁,是进一步学习和研究其他数学领域的基础,在解决实际问题中发挥着重要作用。
向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景,在数学和物理学科中具有广泛的应用.
教师:哪句话大家看后有特别深的体会啊?
学生:向量有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具.
学生:向量是沟通代数、几何、三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景,在数学和物理学科中有广泛的应用.
教师:是的.我们在学习向量的线性运算和坐标表示的时候,就体会到了向量通过坐标运算可以把几何问题转化成代数问题.今天我们要通过研究几个具体的问题来进一步认识向量是沟通代数、几何、三角函数的一种工具.
教师:首先我们先看看向量是怎么沟通代数的,下面大家请看屏幕这道题目.
2.1深化导言,层层递进
例1、在△ABC中,求证:.
巡视片刻,部分学生采用余弦定理来证明,部分同学采用正弦定理来证.不管是用正弦定理还是余弦定理,都能很快地完成该题的证明。
教师:如果等式的两边都乘以a,大家能否看出每个因式“像什么”?比如 “像”我们学过的哪个知识点?(片刻,有些学生像领悟到了什么)
学生1:向量的数量积即 .
即证:
而
教师:非常棒.
例2、在△ABC中,求证: .
稍等片刻.
学生2:用余弦定理:
左边=
=
= =右边
学生3:用正弦定理:
左边=
=
=
=
= =
=右边
教师:不错, 这两位同学的正弦定理、余弦定理和化简能力都很好,能快速解决问题.
学生4:左边= =
=
==
==
=右边
教师:完全正确!同学们听明白了没有?
学生:摁.(学生们笑了笑)
教师:平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题,而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的交角,因此我们可以用向量方法解决部分几何问题.
教师:从这个例题我们看到了解决几何问题时,先用向量表示相应的点、线段 夹角等几何元素;然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系;最后再把运算结果“翻译”成几何关系,得到几何问题的结论.下面我们共同来用向量的方法来解决另一个平面几何中的问题.
例3、如图,直线l与△ABC的边AB,AC分别相交于点D,E.设AB=c,BC=a,CA=B, ,请用向量方法探究
与△ABC的边和角之间的等量关系.
教师:前面我们刚提过涉及到夹角问题我们可用哪些相关知识来解决?
学生:向量的数量积.
教师:完全正确!我们一起来解答这题.
首先 ,取与
同向的单位向量
.
于是 ,即
.
即
即
教师:例3这个例子,主要是让同学们体会向量在三角形中的运用.
2.3体验过程,完善认知
教师:现在请同学们谈谈学习这节课的感受,究竟你获得了哪些知识?
学生5:向量是集数与形于一身,既有代数的抽象性又有几何的直观性.
学生3:觉得向量数量积是一个很重要的概念.
学生6:我也觉得向量的数量积 是一个非常重要的概念,它是解决一些涉及距离、夹角等问题的一种有力工具.
……
教师:今天我们通过学习向量在代数、几何、三角中的应用,明白了“数学是有用的”吧!而且数学是自然的、清楚的.希望同学们能类比地学、联系地学,对数学有个正确的认识. (教室响起一片热烈的掌声和笑声)
教学特色简评
“数学的发展既有内在的动力,也有外在的动力.在高中数学的教学中,要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系,数学与日常生活的联系,数学与其他学科的联系.”本节教学就是基于这点,使学生经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、代数问题以及三角问题的过程,体会向量是处理几何问题、代数问题等的工具,提高学生运算能力和应用能力.
4 课后反思
在执行新课改中,这一节诚然是对教师的一次严峻挑战,因为在老教材中没有出现过这节内容而且很少关注向量的真正应用.以往学生学了向量知识也很少懂得去联系或沟通其它分支的知识.本课例令我最满意之处就是用“回味”章节导言,牢牢抓住“向量是沟通代数、几何、三角函数的一种工具”这根主线,逐一向学生介绍向量的应用领域,让学生获得对该学科学习的积极体验与情感.
本课例还令我满意的就是整节课的构思很注重数学各分支的联系,这样有利提高学生对数学整体的认识.特别是例3用向量方法推导出的边角关系,使本节课达到了应有的高潮,所以学生也对此评价很高.
还有,其实我们更应该教导学生怎么懂得去使用向量,尤其在哪些题目中使用向量的方法能使题目快速得以解答.正如课本的章节导言所说的那样:“向量是沟通与研究解决代数、几何、三角函数的一种有力工具.”因此引导学生如何去使用向量来解决众多的问题才是教本节《用向量法研究三角形的性质》的真正目的!