用向量法研究三角形的性质

用向量法研究三角形的性质

杨根尚

浙江省温州市第二外国语学校 32500

1. 说明

“向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，向量理论具有丰富的物理背景、深刻的数学内涵。向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁，是进一步学习和研究其他数学领域的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用。

它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景……能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力.”

为了深入研究新课标、新课程、新理念，笔者在上述理念的启导下，在自己所在学校开设了一节公开课——用向量法研究三角形的性质（选自人教社必修第二册第六章），受到了其他教师的一致好评.现对这节课的课堂教学过程简录如下，并根据课后大家的点评以及个人的体会和看法做些分析，供大家参考，如有不妥之处敬请同行批评指正.

2. 教学过程简录

2.1导言引入，设置悬念

教师：前面我们一起学习了向量的线性运算和数量积运算，因为有了运算，向量的力量无限.（学生笑了笑，并示意的点了点头）

教师：今天我要带领大家再一次来回味一下本章内容的章节导言.(“哦！……”学生发出一阵诧异和期待的声音)

教师：课本1页平面向量的章节导言中有着这么两段话：

（多媒体课件演示，以下不再注明）

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，向量理论具有丰富的物理背景、深刻的数学内涵。向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁，是进一步学习和研究其他数学领域的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用。

向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用.

教师：哪句话大家看后有特别深的体会啊？

学生：向量有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.

学生：向量是沟通代数、几何、三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中有广泛的应用.

教师：是的.我们在学习向量的线性运算和坐标表示的时候，就体会到了向量通过坐标运算可以把几何问题转化成代数问题.今天我们要通过研究几个具体的问题来进一步认识向量是沟通代数、几何、三角函数的一种工具.

教师：首先我们先看看向量是怎么沟通代数的，下面大家请看屏幕这道题目.

_{2.1深化导言，层层递进}

_{例1、在△ABC中，求证：.}

巡视片刻，部分学生采用余弦定理来证明，部分同学采用正弦定理来证.不管是用正弦定理还是余弦定理，都能很快地完成该题的证明。

教师：如果等式的两边都乘以a，大家能否看出每个因式“像什么”？比如 “像”我们学过的哪个知识点？（片刻，有些学生像领悟到了什么）

学生1：向量的数量积即 .

_即证：

而

教师：非常棒.

例2、在△ABC中，求证： .

稍等片刻.

学生2：用余弦定理：

左边=

=

= =右边

学生3：用正弦定理：

左边=

=

=

=

= = =右边

教师：不错， 这两位同学的正弦定理、余弦定理和化简能力都很好，能快速解决问题.

_学生4：左边= = ₌

₌₌

₌₌ =右边

教师：完全正确！同学们听明白了没有？

学生：摁.（学生们笑了笑）

教师：平面几何经常涉及距离（线段长度）、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的交角，因此我们可以用向量方法解决部分几何问题.

教师：从这个例题我们看到了解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段 夹角等几何元素；然后通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系；最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论.下面我们共同来用向量的方法来解决另一个平面几何中的问题.

例3、如图，直线l与△ABC的边AB，AC分别相交于点D,E.设AB=c,BC=a,CA=B, ,请用向量方法探究 与△ABC的边和角之间的等量关系.

教师：前面我们刚提过涉及到夹角问题我们可用哪些相关知识来解决？

学生：向量的数量积.

教师：完全正确!我们一起来解答这题.

首先 ，取与 同向的单位向量 .

_于是 ，即_.

_即

_即

教师：例3这个例子，主要是让同学们体会向量在三角形中的运用.

2.3体验过程，完善认知

教师：现在请同学们谈谈学习这节课的感受，究竟你获得了哪些知识？

学生5：向量是集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.

学生3：觉得向量数量积是一个很重要的概念.

学生6：我也觉得向量的数量积 是一个非常重要的概念，它是解决一些涉及距离、夹角等问题的一种有力工具.

……

教师：今天我们通过学习向量在代数、几何、三角中的应用，明白了“数学是有用的”吧！而且数学是自然的、清楚的.希望同学们能类比地学、联系地学，对数学有个正确的认识. （教室响起一片热烈的掌声和笑声）

3. 教学特色简评

“数学的发展既有内在的动力，也有外在的动力.在高中数学的教学中，要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系，数学与日常生活的联系，数学与其他学科的联系.”本节教学就是基于这点，使学生经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、代数问题以及三角问题的过程，体会向量是处理几何问题、代数问题等的工具，提高学生运算能力和应用能力.

4 课后反思

在执行新课改中，这一节诚然是对教师的一次严峻挑战，因为在老教材中没有出现过这节内容而且很少关注向量的真正应用.以往学生学了向量知识也很少懂得去联系或沟通其它分支的知识.本课例令我最满意之处就是用“回味”章节导言，牢牢抓住“向量是沟通代数、几何、三角函数的一种工具”这根主线，逐一向学生介绍向量的应用领域，让学生获得对该学科学习的积极体验与情感.

本课例还令我满意的就是整节课的构思很注重数学各分支的联系，这样有利提高学生对数学整体的认识.特别是例3用向量方法推导出的边角关系，使本节课达到了应有的高潮，所以学生也对此评价很高.

还有，其实我们更应该教导学生怎么懂得去使用向量，尤其在哪些题目中使用向量的方法能使题目快速得以解答.正如课本的章节导言所说的那样：“向量是沟通与研究解决代数、几何、三角函数的一种有力工具.”因此引导学生如何去使用向量来解决众多的问题才是教本节《用向量法研究三角形的性质》的真正目的！