初中数学中“最短路径问题”的探究

初中数学中“最短路径问题”的探究

张婷

志丹县教研室 陕西 延安 716000

摘要：关于“最短路径问题”的课题学习，这节课的篇幅虽然很短，但是这节课的内容却常常出现在中考题中，而且题型多变，常常作为压轴题。因此如果能够掌握此类问题，那么对学生来说将会大有益处。当讲到最短路径又或者说最短距离时，我们会不由地想起“点与点的距离问题”“直线外一点与直线间的距离问题”。我们知道，“两点之间线段最短”“直线外一点到直线各点的线段中垂线段最短”，所以所有的最短路径问题都可以转化为两点间的距离问题。

关键词：初中数学；最短路径问题

在中考数学中比较常见的关于最短路径问题的题目大致可以分为以下三类。

1 以立体几何为背景

例题1 (2018年黄冈中考第13题)如图1，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为____cm(杯壁厚度不计)。

分析乍一看这道题好像无法入手，但是归根结底本题考查的依旧是A,B两点间的距离，而此时的距离并不是直接把A,B两点相连接就可以的。那么遇到这种立体几何上的最短路径，一般来说需要把该立体几何展开，如图2所示。通过对展开图的观察可以发现，该题就是在直线上找一点C使得CA+CB的值最小。

解析如图3，作点A关于EF的对称点A'，由题意可知AC+CB=A'C+CB=A'B,AE=A'E=DF=3cm,A'D=EF=16cm,BF=14cm-5cm=9cm,DB=DF+FB=3cm+9cm=12cm.

在Rt△A'BD中，根据勾股定理，得

所以蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm.

例题2 (2009年乐山中考第3题)如图4，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6,D为PB中点。一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为()。

分析这道题依旧是考查两点间的距离问题，但是这题比较特殊，是在圆锥的侧面上爬行，依旧需要把圆锥的侧面展开，如图5所示，根据扇形的弧长公式，可求出∠APA'=120°，再由PA=PB=PA'，得∠APB=∠A'PB=60°。故ΔAPB为等边三角形。结合点D为PB的中点以及等边三角形三线合一的性质，可得AA'⊥PB，最后由勾股定理，可求解出AD的长。

解析由题可知 等于底圆的周长为4π。

再由扇形弧长公式

因为PA=PB=PA',

所以∠APB=∠A'PB=60°。

所以ΔAPB为等边三角形。

又因为点D为PB的中点，

所以AA'⊥PB，ΔPAD为直角三角形。

即蚂蚁爬行的最短路程为

2 以平面几何为背景

例题3 (2018年贵港中考第11题)如图6，在菱形ABCD中， ,BD=6,E是BC边的中点，P,M分别是AC,AB上的动点，连接PE,PM，则PE+PM的最小值是()。

分析本题实质上要求解的问题是在线段AC上找到一点P，使得PM+PE的值最小，与2018年黄冈中考题类似，但是又有不同，因为此时的点M也是一个动点。问题的难度有所提升，但是由于菱形的特殊性，无论点M在线段AB上何处，其关于AC的对称点M'永远会落在线段AD上，最终问题便转化为线段M'E何时最短，即求平行线AD,BC间的距离。

根据菱形的对角线互相垂直平分这一特性，可求出

即PE+PM的最小值为

例题4 (2018年黑龙江伊春中考第8题)如图8，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点。则PD+PG的最小值为___。

分析这是一道求线段和最小值的问题，最关键的步骤就是要将这两条不在同一直线上的线段转化到一条直线上，所以要利用轴对称的相关知识解决问题。由于本题中有两个动点E,P，所以应该从定点D入手作出其关于线段AB的对称点D'，接下来便转化为常见的模型，以BC为直径作出半圆，连接圆心和D'，此时与AB的交点就是点P所在的位置，且使得PD+PG的值最小，如图9所示。

解析如图9所示，PD+PG=PD'+PG.

在Rt△OC'D'中，由勾股定理，得

因为OG=2,

3以函数为背景

例题5 (2013年广东中考第23题)已知二次函数y=x2-2mx+m2-1.

(1)略;

(2)如图10，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C,D两点坐标;

(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短?若点P存在，求出点P坐标;若点P不存在，请说明理由。

分析(3)本题需要在x轴上找一点P使得PC+PD最短，通过对图形的观察可以发现，C,D分别位于x轴的两侧，只需连接CD，与x轴的交点即为所求的点P，如图11所示。

解析(3)由(2)可知C(0,3),D(2,-1).

过点D作DE⊥y轴于点E，如图11所示。

由题可知CO=3,CE=4,ED=2.

通过研究上述中考题可以发现，中考数学中的最短路径问题归根结底就是考查学生对两点之间的距离问题的处理，解决这类问题的关键就是要让学生学会把问题进行转化，转变为已经学习过的知识进行处理。正如德国哲学家莱布尼茨所说:“世界上没有两片一模一样的树叶”，在中考中也不可能出现原原本本的题目，这需要学生掌握其内涵，抓住其本质，窥一点而知全貌。

翻阅其他地区的中考数学试卷可以发现，最短路径问题依旧是热门的考点，考查的形式也不断发生着变化，由于文章的篇幅关系，这里就不一一列举出来了，有兴趣的读者可以自行查阅各地中考数学试题进行研究。