指数函数的图象与性质的教学实践与反思

指数函数的图象与性质的教学实践与反思

张荟萍 肖映海

云南省安宁市第一中学 650300

提要：通过对两位教师“同课异构”课的比较分析，以学生发展为本，对教学设计和实施进行反思，促进提升课堂教育教学效果。

关键词：生本课堂 比较反思 改进提高

“中小学生本课堂”课题组以“如何整合信息技术与数学教学，提高学生的探究活动的效果”为题开展研讨会，会前指定了两位教师根据人教A版《普通高中教科书 数学 必修 第一册》，以“指数函数的图象与性质”为题，进行精心的教学设计，研讨会上，先由两位教师上课（同课异构实施教学设计）,课题组教师听课，然后课题组以教学设计实施过程为载体，分析和评价教学过程，并反馈到教学设计环节。采取比较的方式，在分阶段回顾堂课的基础上，对教学设计和实施进行反思，提出改进教学设计的方案,提升课堂教育教学效果。
一、指数函数性质的探究：

两位教师分别采取不同的探究方式。

（一）教师甲的教学过程：

师：前面我们学习了指数函数的概念，接下来就要研究它的图象和性质。回顾幂函数的研究经验，你能说说我们要研究哪些内容？研究方法是什么？

生：选取a的若干值，画出指数函数 (a>0且a≠1)的图象，通过观察图象的特征可以得到函数的性质。

师：你认为可以从哪些方面进行观察？你能发现函数的哪些性质？

生：定义域、值域、图象位置、对称性、公共点、变化趋势和单调性等。

师：怎么选取a的值？ （教师在a的取值的典型性上作些引导，取典型的数字2,3等）。

学生活动1：

1.画 的图象。

_{解：（1）完成下面x,y的对应值表格。}

x	-2	-1.5	-1	-0.5	0	0.5	1	1.5	2
y		0.35		0.71		1.41		2.83

(2)在下面坐标系中描点，画出图象。

y

o x

2.画出 的图象。

解：（1）完成下面x,y的对应值表格。

x	-2	-1.5	-1	-0.5	0	0.5	1	1.5	2
y

2. 在下面坐标系中描点画图。

y

o x

探究一：（1）把两个函数图象进行比较，它们有什么关系？

（2）能否用 图象画出 的图象？

（3）能否猜想：当底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称？

学生活动2：在同一坐标系中画出函数 和 的图象。

y

O x

探究二：对于指数函数 (a>0且a≠1)选取a的若干不同的值，在同一坐标系中画出相应函数的图象。 观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出指数函数指数函数 (a>0且a≠1)的定义域、值域和单调性吗？

教师利用《几何画板》，让参数a取不同的值，动态演示指数函数 (a>0且a≠1)的图象，让学生观察参数a的取值对函数指数函数 (a>0且a≠1)图象的影响。

学生活动3： 归纳当a>1时，指数函数指数函数 (a>0且a≠1)的图象位置、公共点、变化趋势、定义域、值域和单调性如何？

当0 (a>0且a≠1)情况又如何呢？

将探索的结果填入下表：

2. 教师乙的教学过程

师：指数函数是我们在学习了函数基本概念和性质之后的接触到的第二个具体函数，而且我们已经得到了它的解析式，那还应该去探索它的哪些性质呢？

生：定义域、值域、对应法则，特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性。

师：用什么方法去研究它的这些性质呢？

生：1．先给出函数的定义；2．作出函数图象；3．结合图象，研究函数性质；

师：怎样才能得到指数函数的图象？

生：a取不同的值，利用信息技术画出多个 (a>0且a≠1)的图象。

师：请选取a 的若干值，用《几何画板》或《Geogebra》画图：

学生1，2，3分别到前面，在一体机上利用几何画板作图，教师引导全体

学生观察图像。

师：指数函数的图像有什么特点？通过图象，你能“读出”我们想要研究的这些性质吗？

生：定义域：R ;值域: ;特殊点:图象都过点（0,1);单调性：当

_{时，在R上是增函数，当0不是奇函数也不是偶函数。}

师：上面的性质是同学们根据前三位同学选取了不同的值画出来的，这些函数图像可以代表指数函数一般的性质吗？可以用什么方法去研究这些性质是否可以代表指数函数一般的性质呢？

学生开始思考、讨论。

教师巡视、听取学生的交流讨论。让一位学生代表发言。

生：可以利用几何画板，让在区间（0,1）和 上连续取值，做出函_{数图像进行观察。其他学生鼓起掌。}

_{师：你可以上来在一体机上演示吗？}

_{生：可以。}

_{学生上去演示函数图象。}

_{课堂气氛比较轻松活跃。}

_{师：观察图像, 得出性质，并填表。}

	0	a>1
图象
定义域
值域
性质

_{教师请学生上黑板填表。}

课堂练习：在同一坐标系中画出下列函数图象：

（1） ， （2） ， 。

（三）不同教学过程的比较与反思：

教师甲的设计是根据学生的已有经验（过去讨论函数的图象与性质，都是通过对参数赋值而得到的几个具体函数，再归纳它们的共同特征而得到有关结论。）是从a=2,3,等具体函数的共性归纳，指数函数 的图象与性质，并借助信息技术进行动态演示和验证而得到的。

教师乙的设计：利用《几何画板》强大的作图功能，先引导学生随意地取a的值（不一定是2,3等）,并在同一个直角坐标系中画出图象，在这个过程中，学生可以非常清楚地看到底数a是如何影响并决定着函数 的性质的。在此基础上，再通过a的连续动态变化来演示函数图象的变化情况，从而让学生更直观、清楚地看到指数函数 的性质，并体会从量变到质变的事物发展规律。在这样的教学中，对“为什么以a=1为分界点”“过点（0,1)为什么要作为性质之一”等的认识，都不是教师强加的，而是学生在学习中自己发现的。这样的教学设计，使得教学方式从“讲授式”转变为“引导式”“启放在a=1和特殊点（0,1)上，从而顺利概括出函数性质。这是一个使学生体验“数学研究”真谛的过程。在信息技术营造的认知环境中，学生可从新的角度去探究数学问题，在一种动态变化的过程中来认识数学概念的本质。通过设计a的连续变化程序（0→1→00),把函数的解析式、图象以及参数a紧密地结合在一起，并使三者都得到直观、动态的表示，在这样的认知环境中，操作、观察、试验、发式”，教学过程具有开放性，学生的学习方式则从“听讲式”“接受式”转变成了“探索式”“研究式”。

在信息技术环境中，可以把教学设计的重点放在对知识的重新组织上，让学生从整体上对 进行处理，通过改变a的值而实现对函数 及其图象的实时变换（渗透“参数思想”）,这就能使学生顺利地实现在函数的解析式表示与图象表示之间的相互转换，并使参数a与函数 的图象以及解析式之间建立起联系，突破由于数学的高度抽象性而带来的思维困难，极大地改善学生的数学思维环境。图象的直观可以引导学生把思考重点猜想、发现等过程都变得具体而清晰，尝试错误的成分减少了，数学思维的目的性增强了，数学推理的逻辑基础更加稳固，数学思考的程序性也大大增强，这就极大增加了学生通过自主、积极的数学思维而成功地建构数学概念、解决数学问题的可能性。

二 课本例3的教学过程：

例3：比较下列各题中两个值的大小：

(1) (2)(3)1.7^0.3 ，

（一）教师甲的教学过程：（节选（3）的教学过程）

师：对于（3）比较 不能看作某一个指数函数的两个函数值，怎么比较它们的大小？（教师在此处停顿一分多钟，让学生分析、讨论，表达自己的思想）。

学生1：引入函数，利用函数单调性比较完成，既有幂函数又有指数函数，学生把前后知识联系起来，值得肯定表扬；

学生2：利用 的对称性，将

与 的图象画在同一坐标系，由 比较完成。学生不仅联系到指数函数的单调性，还联系到对称性。

课堂气氛非常活跃，还有学生举手，要表达自己的方法。教师在鼓励表扬的同时，引导他们比较各种方法的异同，选取最适合自己的方法。

（二）教师乙的教学过程

师：对于（3）比较 不能看作某一个指数函数的两个函数值，怎

么比较它们的大小？（教师在这里没有让学生充分思考）

师：中间值法：找一个 “中间值”如“1”来过渡, 两数的特征是底数

不同指数也不同。

2. 两个教师教学过程的比较和反思： 

注重课堂生成才是好数学教学，教师甲在教学中有意停顿一分多钟，让学生分析、讨论，表达自己的思想。“学习归根到底是学生自己的事情。如果学生的思维没有参与进来，那么老师讲得再好，效果也只能等于零。因此，好数学教学一定是那种能把学生卷入课堂活动中，使他们“躬行此事”而“绝知此事”的教学。这样的教学能极大地激发学生主动学习的欲望，调动学生的潜能；能给学生创造自主学习的空间，确保学生独立思考的时间；能敏锐地捕捉课堂生成的教学资原，并机智地将“生成”融合于“预设”之中，根据“生成”来调整“预设”；不以自己的“一家之言”遏制学生的“奇谈怪论”，而是想方设法地挖掘学生思维的“闪光点”，通过设问、追问、反问等，“挑动”学生的认知冲突，让学生开展充分的互动、交流，把学生的思维活动引向深入，推动他们的数学理解。
教师要给学生精彩生成的机会，做好了应对学生精彩生成的准备，有捕捉和利用“生成”的智慧，有能力驾驭探究性学习的课堂。“精彩的课堂生成与教师素养直接相关。有精湛的数学造，才能具有深遂的洞察力；有敏锐的教学机智，才能及时捕捉课堂生成；有催生课堂生成的技巧，才能诱发学生的思维火花；有虚怀若谷的肚量，才能营造精彩生成的氛围；归根到底还是“三个理解”：理解数学，理解学生，理解教学。

参考文献：1、章建跃，教育教学随想录，浙江教育出版社，2017.6；

2. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订），人民教育出

版社；

3. 普通高中教科书教师教学用书 数学 必修第一册，人民教育出版

社，A版；

3. 普通高中教科书 数学 必修第一册，人民教育出版

社，A版。