三问“方程”，理解方程本质意义

三问“方程”，理解方程本质意义

郭宇辉

深圳市宝安区黄麻布学校

方程学习是小学阶段第一次从算式思维转换到代数思维，是思维层次的一次大转折，方程概念的理解与否，对于方程这个重要的数学思想方法的理解与把握起着至关重要的作用，本文将从“方程是什么？”“小学阶段为什么要用方程解决问题？”“怎样利用方程解决问题？”等三个方面阐述方程的本质意义。

一、什么是方程，透过“外形”找“本质”

北师大版小学数学四年级下册第五单元教材里对方程的概念描述是“含有未知数的等式叫方程”，依照这个定义的字面理解，通常会对像“x=5”，“a+b=b+a”等这些既含有未知数又是等式的式子，它们到底是不是方程产生争议。其实认为“x=5”和“a+b=b+a”就是方程，是对方程的意义的错误理解，产生这种错误的原因在于只是根据方程的外形结构进行判断，并没有理解方程的本质意义。那么方程的本质是什么？张奠宙教授认为方程应该是“为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系”。这句话告诉了我们：1、方程目的是为了寻求未知数，像“x=5”已经是结果，所以它并不是方程；2、方程的关键在于要建立未知数和已知数的等量关系，像“a+b=b+a”这个关系式里都是未知数，它们表示的是一个规律、公式，所以也不是方程；3、借助这层等量关系，可以求得未知数。依此，课堂上要促成学生方程意义的建构，我认为要注意以下三点：1、理解未知数，虽然未知数是字母代替的，不是日常所见的阿拉伯数字，但未知数也是一个确定的数，只是暂时未知，暂时用字母代替。所以未知数和已知数是一样可以参与运算的；2、理解等量，等量关系中的等号不再是一个从左到右的运算符号，而是两边相等的连接符号，要想建立方程的正确概念，必须要破除学生对于等号的不完全认知；3、能够理解数量关系，能够用数学符号列出未知数和已知数之间的等量关系，列方程的过程也是建模的过程。

二、为什么要用方程，理解“本质”找“优点”

在实际教学中，学生经常会问到“我可以用算术方法解决的题目，为什么老师要求要用方程去解答？用方程步骤繁琐，多麻烦啊。”学生不喜欢用方程去解决问题的原因有：1、小学阶段的数学问题太简单，即使是逆向思考的算术方法也不存在太大的障碍，学生体验不到使用方程的优越性；2、要用方程解决的问题太“难”，不知道怎么列未知数或列等式。3、方程求解的步骤比较多，又是要写解、设，还不能通过移项求出解，学生连写个“答”都不太乐意，更不愿意写完整的方程步骤。那么方程的优势在哪里？其实方程的优势在于：1、思维简洁，方程的核心等量关系。列等量关系是顺序思维，未知数是可以参与运算的，列等式比列算式容易。比如相遇问题，计算思维是总路程除以速度和，最难理解的是什么是“速度和”，是两个速度叠加？很抽象。而方程解法不同，因为未知数是可以参与运算的，知道速度×时间=路程，两人走的路程和等于总路程，得出等量关系，剩下的是解方程的问题了。随着学习的深入方程的优势慢慢凸显出来的，特别是到了二元一次方程以后更加明显。2、方法通用，比如a x =b模型可以表示行程问题、工程问题、价格问题等。因此要让学生喜欢用方程解决问题，就应该让学生体验到方程的思维的简洁，并且它是一种通性通法这些本质特性，所谓的步骤繁琐的麻烦只是浅层次的麻烦。

三、如何用方程，利用“本质”找“关系”

方程解决问题的关键是找到等量关系也即是建模的过程，当遇到比较复杂的情境时，如何抽象出相应的等量关系呢？其实我们可以根据方程的本质特征去分析理解找等量关系。史宁中教授曾说过“方程就是用两种不同的描述表达同一个事情。”这句话形象地表达方程的本质特点，从“不同的角度”表述“同一个量”时，就能形成等量关系。那么我们先确定一个量作为等量，再用两种方式去表征这个量，这个等量关系不是自然就建立起来了？举个例子“小明的爸爸今年36岁，比小明的年龄3倍多6岁，小明今年多少岁？”这个问题有四个量分别是“爸爸的年龄”、“小明的年龄”、“3倍”和“多6岁”。如果确定“爸爸的年龄”为等量，再根据题意用小明的年龄乘以3再加上6表示（小明的年龄×3+6），也可以直接用36表示，两者都是表示同一个量——“爸爸的年龄”，它们的等量关系式（x×3+6=36）自然而然建立起来了。当然，还可以分别以其它3个量分别列出其他3个等量关系。①、以“小明的年龄”为等量，列式为x=(36－ 6)÷3；②、以“3倍”为等量，列式为(36－ 6)÷X=3；③、以“多6岁”为等量，列式为36－(X× 3)=6。但此时要注意方法的比较，以“爸爸的年龄”为等量对应的是顺着题意列出的数量关系，我们给它起个名字叫做“原始等量关系”，其他方法都是要经过反向思考得出的，给它起个名字叫“推理等量关系”。反向思考的次数越多思维容量越大也就越难理解,特别是第2种方法列出的并不是方程。所以当列出不同的方程时，我们要有所选择，我们要选择顺着题意的数量关系，因为它的思路最顺畅，更适合列方程。从而让学生真正体会方程解决问题的优越性。

只有抓住方程的本质特征，才能站得更高，看得更远，才能深刻理解方程的本质含义，才不会被纷繁芜杂的表象所迷惑。