湖北省十堰市房县第一中学 442100
导数是高考必考查的一个模块，利用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题，常常需要进行分类讨论，如何分类讨论？常见的有哪些类型？本文来支支招。
导数为零的点与定义域或给定的区间的相对位置关系的讨论
例1、已知
，求函数
在区间[0，1]上的最小值。
解析：
，由
①当
在区间[0，1]上是减函数，
此时
在区间[0，1]上的最小值是
②当
在区间[0，1]上是增函数，
在区间[0，1]上的最小值是
③当
所以当
时，函数
取得极大值，又
，因此当
时， 在区间[0，1]上的最小值是 ，当
时， 在区间[0，1]上的最小值是 。
综上，当
时， 在区间[0，1]上的最小值是 ；
当
时， 在区间[0，1]上的最小值是 。
评析：当求出的导数为零的点不能确定是否在给定区间内时，常常要分零点在区间的左侧、右侧（这两种情况函数一般是单调函数）和在区间内（此时函数一定有极值）三种情况讨论。
2、对代数式正负的讨论
例2、设函6570
，求函数
的单调区间。
解析：
，
当
，所以函数 的单调增区间是
；
，所以函数 的单调减区间是
当
，所以函数 的单调减区间是 ；
，所以函数 的单调增区间是 。
评析：研究函数的单调性时，常常需要解不等式，当不等式两边同除一个代数式时，要分此式为正、为0和为负三种情况分别讨论。
3、对判别式
的讨论
例3、已知函数
，讨论
的极值。
解析：函数
的定义域为
设
方程
的判别式 =
。
Ⅰ、当 =
时，
恒成立， 不存在极值。
Ⅱ、当 =
时，
恒成立，不存在极值。
Ⅲ、当 =
时，方程
有两个不同的实根
当x变化时，
、 的变化情况如下表：
| | | | | |
| + | 0 | — | 0 | + |
| 递增 | 极大值 | 递减 | 极小值 | 递增 |
由表知，当
时， 取得极大值，当
时， 取得极小值。
评析：当函数求导后能转化为二次函数或二次不等式问题，它们对应的二次方程是否有解不能确定时，往往要对判别式进行讨论，此时要特别注意，当判别式 =0时，虽然导数为0有根，但根的左右两侧符号相同，不存在极值。
4、对两根大小的讨论
例4、已知函数
，试讨论函数 的单调性。
解析： 的定义域为
，
方程
①当
时，由
，所以函数 在
上是增函数；
，所以函数 在
上是减函数。
②当
时，同理可得函数 在
上是增函数；函数 在
上是减函数。
③当
，
，所以 在 上是增函数。
评析：求函数的单调区间有时转化为解一元二次或高次不等式，这时必须理清对应方程和根的大小，否则就要对根大小进行分类讨论。
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