把一题做透，方能把万题做精

把一题做透，方能把万题做精

冯玉华

广东省阳江市实验中学， 广东 阳江 529500

摘　要： 在解题教学中，适当使用一题多解，可以激发学生发现和创造的求知欲，加深学生对所学知识的深刻理解，增强学生对数学思想和方法的娴熟运用，锻炼学生思维的广阔性，深刻性，灵活性和独创。

关键词：一题多解　初中数学　发散思维，不同角度，分析问题

不可否认“刷题”能一定程度上提高数学学习成绩，但是学生的学习时间是有限的，精力也是有限的，题海战术有时候会适得其反，造成学生对数学学习产生恐惧，焦虑，排斥，厌烦的心理，长期以往，学生容易在平时的解题中半途而废，事倍功半。要提高学习效率，就要把题做精做透，就要从不同的角度，运用不同的数学知识，不同方式解答题目，这样学生能从多角度观察问题，了解不同数学知识之间的区别和联系，形成良好的认知结构，从而提高发散思维能力。

在教学当中时常听到老师这样抱怨:这个题在课上都讲了N遍了，为什么学生还是不会做。那是因为学生在N遍题目讲解当中，只是停留在题面上的理解，并没有理解消化，更没有对题目进行深一步的研究，也就不会融会贯通，举一反三。如果老师在教学中不失时机地通过引导学生进行一题多解的训练，通过广泛的联想，使学生思维触角伸向不同的方向，不同的层次，这样不仅能巩固所学知识，而且能较好地培养学生的思维的广阔性，有利于创新意识的形成和发展，也是培养学生良好思维品质与创新精神的好方法。

一道数学题由于思考的角度不同，可以得到不同的思路，而这些思路来源于学生对基本题型的熟悉，和基本知识的掌握，如果学生能熟练识别常见几何图形，并掌握基本解题方法，那么对于一些难度较大的几何题，便能从复杂图形分解出几个基本图形和几个基础知识，找到解决难题的突破口，从而达到事半功倍之效。一题多解的教学要求老师具有较高的专业知识水平和深厚的教学基本功底才能运用自如，就需要教师在备教材中透彻钻研，在题海中披沙拣金，在教学拓展中厚积薄发。下面以一道题为例，如何引导学生从多个角度，不同思路解决问题，从中渗透数学思想方法和做题技巧。

例题：如图，在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,点E为AD

上一点，且∠ABE=30°,将△ABE绕BE翻折，得△A'BE

连接CA'并延长，与AD相交于点，求DF的长。

学生认真审题，结合所学知识,从不同角度去分析问题和解决问题。老师正向思维引导,顺藤摸瓜：见“翻折”想“角等”；见“直角”想“三角函数”；见“30°角”想“特殊三角函数”；见“30°角”引申“60°角”得“等边三角形”。同时也要逆向思维引导，也就是利用分析综合法，从结论出发，往回推理，追根溯源，由结论的“求线段的长”联想到“相似”，“全等”，“解直角三角形”，“中位线定理”，“函数”等方法解决问题。本题适合运用逆向思维或正逆思维结合方法思考。

1. 构造相似三角形，求线段的长

（1）方法1.由折叠性质易知∠A'BC=30°，所以想到作垂线构造含30°角的直角三角形，求出A'M和BM，进而求出CM，再用△A'MC∼△CDF,利用四条线段成比例从而求出DF。

解：如图过点A' 作A'M⊥BC于点M, 由矩形的性质、

折叠的性质得∠A'BC=30°，A'B=AB=2，所以A'M=1,

BM= ，MC=3-_，因为∠D=∠A'MC，∠DFC=∠MCA'，

所以△DFC∼△MCA'，所以 ，即

所以DF=_。

（2）方法2.利用翻折中“角等”与“边等”可得出30°的直角三角形;用平行构造“A型”相似三角形，用三角函数和勾股定理及相似三角形求线段DF的长。

解: 分别过F、A'作FH⊥CB、A'G⊥BC所以

△CFH∽△CAG'，所以 因为∠ABE=∠EBA'=30°，

∠ABC=90°，所以∠A'BH=30°，所以A'G=A'Bsin30°

_{=1 ,BG=A'Bcos30°=} ;所以CG=3- ;所以

_所以DF=HC=

2. 构造全等三角形，求线段的长

方法3.解题思路：延长EA'交BC于点H，由翻折可得等边三角形BHE，由等边三角形可想到三线合一，得A'E=A'H得△A'HC≌△A'FE,再得FE=HC，从而求出DF。

解：Rt△ABE中，∠ABE=30°,所以AE= ,BE=

由翻折可得∠AEB=∠BEH=60°,再由矩形ABCD，可知

AD∥BC,所以∠EBH=∠AEB=60°,所以△BEH是等边三

角形所以BE=EH=BH= ，则HC=3- 由翻折可知

∠ABE=∠EBA'=30°,所以∠A'BH=30°所以A'E=A'H,

可得△A'EF≌△A'HC,所以EF=HC所以DF=ED+EF=(3- )+(3- )=

2. 构造三角形（梯形）中位线定理，求线段的长

（1）方法4.解题思路：人教版数学八年下册课本中有一个活动课“折30°，60°角”，其中基本图形与本例题图形相似，联系新旧知识，进行知识迁移，类比解题，把纸片上下对折得矩形对称轴HG，得点H、A'、G分别是AB、CE、CD的中点，运用三角形中位线定理推出DF= 。

解:过A'作GH//AD，则△CGA'∽△CDF,所以

同理可求出HA'=_，A'G=3-_，GC=1,又因为DC=AB=2,

_{所以根据中位线定理FD=}

2. 

   

   方法5.解题思路：类似方法4 再利用梯形的中位线，求出AF。

解:过点A'作A'H//BC，在矩形ABCD中，∠ABC=90°，

AD//BC，∠ABE=∠ABE= =30°，AB= =A'B=2，∠A'BC=30°

因为A'H//BC 所以∠A'HB=90°,因为A'B=2，AH=BH=1，

A'H= 所以H为CB的中点，所以A'H为梯形AFCB的

中位线，所以AF=_，所以FD=

2. 建立平面直角坐标系，转化点坐标为线段的长

方法6.解题思路:渗透数形结合的思想，用函数知识解决几何问题。在规则的图形中，如果能直接建立平面直角坐标系，可以考虑建系解决问题，利用FC直线所在的一次函数解析式，由“知y求x”求出F点坐标，转化为线段AF的长，从而求出ED的长。

解:建立如图所示的平面直角坐标系

A(0,2)，C(3，0),D(3，2)易得A'G=1,BG= ，则

A' ( ，1),直线FC解析式为：

_{令y=2，解得x=} 则F ( ， 2)DF=

一题多解对于提高中学生的数学学习和逻辑思维能力来说起着非常重要的作用，但是一题多解某些时候是被忽略的，由于课堂时间的限制，教师能力的不足，对于一道题目，教师很多时候并不要求学生能够给出多种解法，只要求学生用某一种特定的方法做出来就可以了，其实为了追求教学的“量”往往会失去学习的“质”的保证。发展学生解决问题的能力，对于我们一线教师说任重而道远，教师应在不偏离正轨的前提下，让一题多解有效地服务于课堂教学，让学生走出茫茫题海，不断提高学习的实效性和发展性。

前参考文献

[1]濮安山 例谈“一题多解”的数学教育价值[J].现代中小学教育，2016，（07）：57-60。

[2]但水平 关注课堂对话，以题论道论法，促进数学理解决.中学数学研究，2017，（10）

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