新疆 乌鲁木齐市高级中学 830049
2020年高考已经落下帷幕，高考数学试卷结构稳定，难易适中，题型稳定，表达创新。强调核心素养，突出关键能力，落实立德树人，符合高考数学科目《考试说明》的要求。其中几道题用同构式求解，解题效率倍增。
同构式是指除了变量不同，结构、形式都相同的表达式。同构式在方程、解析几何、数列、不等式中均有应用。
对于一个等式或不等式，如果对其通过移项、取对数、利用指对恒等式等各种手段将其变形，使其左右两边呈现形式完全一样的状态，接着可以构造函数，结合函数单调性等来对式子进行处理。
例1 （2020年高考全国II卷理科第12题）若
，则
A.
B. 
C. 
D. 
用同构求解：
解：∵ 
由于左右两个式子结构相同，可以构造同构函数
于是
∵ 是
上的增函数
∴
即 故答案为B.
例2（2020年高考全国I卷理科第12题）若
，则
A.
B. 
C. 
D. 
用同构求解：
解：
由于左右两个式子结构相同，可以构造同构式
设
，则
∵
，∴
∵在
是增函数且
∴
.故答案是B.
例2 （2020新高考山东卷第21题）已知函数
．(Ⅰ)当
时，求曲线
在点
处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(Ⅱ)若
恒成立，求
的取值范
围．
解：（I）略；（II）用同构求解：
解法一：若 ，则
∴
即
由于左右两个式子结构相同，可以构造同构式：
构造函数
，则
在
是增函数且
∴
设
，则
∵
时
，
时
∴
∴
，即 的取值范 围是
．
解法二 若 ，则
∴ 即
，同构：
构造函数
，则易得
在从而
，即 的取值范 围是 ．
例3 （2020新疆维吾尔自治区二模第21题）已知函数
．(Ⅰ)求函数
零点个数；(Ⅱ)若
时，
恒成立，求实数 的取值范 围．
解：(Ⅰ)略；（Ⅱ）解法一 ∵ 
，
∴
，即 
由于左右结构相同，构造同构函数
，
则
等价于
，即
，
设
，易得
的最大值为
.∴实数 的取值范 围是
．
（Ⅱ）解法二 ∵ ，
∴ ，构造同构式：
设
，则
等价于 ，即 ， .设 ，易得 的最大值为
∴实数 的取值范 围是 ．
理性思维在数学素养中起着最本质、最核心的作用。数学科高考突出理性思维，将数学关键能力与“理性思维”的学科素养统一起来，在数学应用、数学探究等方面突出体现了理性思维和关键能力的考查。上述高考试题不仅考查学生运用所学知识分析、解决问题的能力，同时也考查学生的观察能力、运算能力、推理判断能力与灵活运用知识的综合能力。为新课标教学和高考复习指明了方向。
参考文献：
1.2020年高考数学全国卷试卷（全国I卷，II卷,III卷,山东卷)；
2.2020年高考数学全国卷试题评析，微信公众号“中国考试”，2020.7.7；
3.MST 《高考数学满分突破》压轴题系列1-3，2020.1.
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