核心素养导向下的情景化教学——以“函数的零点和方程的解”教学为例

核心素养导向下的情景化教学——以“函数的零点和方程的解”教学为例

杨威

厦门外国语学校 福建厦门 361026

摘要：从教学的角度讲，所谓知识的情景化，就是指教师在教学过程中有意思地引入或创设一定的情境，把知识转化为与知识或具体运用的情境具有相似性结构的组织形式，让学生参与、体验类似知识产生或运用过程的情境，从而直观地、富有意义地、快乐地理解知识或发现问题乃至创造知识。知识只是素养的媒介和手段，知识转化为素养的重要途径是情境，因此，构建从真实的情境中学习的认知路径，是知识通向素养的必然要求。

1. 教学分析

“函数的零点和方程的解”是人教版《数学》必修第一册第四章第五节内容。函数的应用是学习函数的一个重要方面。学生学习函数的应用的目的就是利用已有的函数知识分析问题和解决问题，通过函数的应用，对完善函数的思想、激发应用数学的意识、培养分析解决问题的能力及增强实践的能力等都有很大的帮助。

本节是一节数学概念及探究课。从函数值与自变量对应的角度看,函数的零点就是使函数 值为的实数；从方程的角度看,即为相应方程 的实数根，从函数的图象表示看,函数的零点就是函数 与轴交点的横坐标。函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形、函数与方程有机的联系在一起。

“函数的零点和方程的解”，这节课的作用就是通过找函数的零点来研究方程的根，进一步突出函数思想的应用，也为二分法求方程的近似解作好知识上和思想上的准备。定理不需证明，在缺少证明的环节下，关键在于让学生通过感知体验并加以确认，需要结合具体的实例，加强对定理进行全面的认识，比如定理应用的局限性，即定理的前提是函数的图象必须是连续的，定理只能判定函数的“变号”零点；定理结论中零点存在但不一定唯一，需要结合函数的图象和性质作进一步的判断。对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则。对定理的条件和结论，根据以往经验，学生考虑不够全面，教师通过系列问题，从各种角度重新审视，完成函数零点存在的判定定理的构建。从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形。用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础。

2. 教学过程

   1. 设计问题，创设情境

教师：下列方程是否有实根？若有，求出方程的根。

（1）

（2）

学生迅速给出了答案

教师：阿拉伯数学家花拉子米（约780-850年）给出了一次方程和二次方程的一般解法。

教师：如何解方程 ？

学生陷入沉思。

教师追问：怎么解一般方程 ？方程 的根与函数 之间有什么关系？

（设计意图：通过解几个基本方程让学生回忆起之前所学的知识只能解基本方程，通过第三个方程，让学生从更高的层次来了解方程，并不是所有方程都能很容易求解，引出解方程的困难，引导学生想要近一步探究方程与函数关系的积极性，激发学生的求知欲。）

1. 2. 逐步探究，发现定理

情境1：请同学们先观察几个具体的方程及其对应的函数的联系。

（1）方程 的解为 ，函数 的图像与x轴的交点坐标为 。

（2）方程 的解为 ，函数 的图像与x轴的交点坐标为 。

（3）方程 的解为 ，函数 的图像与x轴的交点坐标为 。

（4）方程 的解为 ，函数 的图像与x轴的交点坐标为 。

答案：（1）-1；（-1，0）；（2）-1,3；（-1,0），（3,0）；（3）无实根；无交点；（4）1；（1，0）.

教师：在（1）中，-1是方程 的实根，在函数中，它是函数图像与 轴交点的横坐标，它在函数中还有另外一个名字，叫做函数的零点。那么，方程的实根与函数有什么样的联系？该怎么给函数的零点下定义呢？

学生：方程无实根，则对应函数图像与 轴无交点。方程若有实根，则对应函数图像与 轴有交点，方程的实根叫做对应函数的零点。

教师近一步总结：

新知：对于函数 ，我们把使 的实数 叫做函数 的零点。

教师：函数 的零点、方程 的实根、函数 的图像与 轴交点的横坐标，这三者之间有什么关系？

学生：方程 有实根 函数 的图像与 轴有交点 函数 有零点。

教师小结：方程的解，这是从代数角度刻画函数的零点，函数图像，这是从几何图像的角度刻画函数的零点。看函数是否有零点，可以看函数图像与 轴是否有交点，也可以看方程是否有实根，可以从数和形两个不同角度考虑问题，因此，求函数的零点有两种方法：代数法（方程法）和几何法（图像法）：①代数法：求方程

的实数根；②几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

（设计意图:教师通过几个例子让学生从熟悉的方程入手，探究方程的根与函数的关系，让学生体会方程的根与函数零点的关系，为接下来学习零点的存在性定理找到切入点。）

教师：回归到活动1中，四个函数的零点分别是什么？

学生：-1；-1,3；无零点；1.

练习1.函数 的零点为（ ）

答案：D

（设计意图:让学生学会从求函数的零点的两种方法方程法和图像法中，灵活地选择方程法去解决练习1中的问题，强调函数零点不是一个点，而是具体的实数）。

练习2.下列图象表示的函数中没有零点的是(　　)

答案：A

（设计意图:要求学生从“数”和“形”两个层面来理解函数零点这个概念，加强了学生对数形结合思想的理解.提出用函数的方法来解决方程根的问题，让学生体会转化与化归的思想，培养学生数学抽象和逻辑推理核心素养）。

3. 反思

融入情感的情境才能有效地激发学生的学习动力。第斯多惠认为，教学的艺术不在于传授的本领，而在于激励、唤醒和鼓舞。赞科夫也强调：“教学法一旦触及学生的情绪和意志领域，触及学生的精神需要，这种教学法就能发挥高度有效的作用。”

本节课从学生所熟悉的一元一次方程和一元二次方程入手，通过设计一个个问题情境，引导学生交流，讨论，让学生的思维得到碰撞，逐渐形成零点存在定理的概念，一步一步加强对定理的完善，培养学生学习的主动性和创造性，进而通过一系列的提问和质疑，让学生全面的了解零点存在定理，提升学生的数学语言表达能力，这也体现了学生用数学语言来表达世界的契机.在这个过程中体现了数学的四大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想想象。

对定理的条件和结论，根据以往经验，学生考虑不够全面，教师通过系列问题与思考，通过减弱定理的条件，定理的逆命题是否成立等各种角度重新审视定理，让学生在思考与讨论中对定理的认识更上一层楼，完成函数零点存在的判定定理的构建。

另外，本节课的目的明确、层次分明、难以适中，对学生提出了几个关于定理理解的问题，让学生体会三种数学语言之间的转化，并进一步让学生学会应用数学语言描述零点存在性定理。

作者简介：姓名：杨威，出生年月—1984.11.12，性别：女，民族：汉族，籍贯(省市)：河南信阳，学历：研究生，职称/职务：中教二级