江苏省兴化市板桥初级中学
“借来还去”是解决数学问题的一种重要策略,如求不规则图形、化简计算等. 用此方法时,需要注意观察,发现规律;还要注意还,有借有还,再借不难.
例1 如图1,在四边形ABCD中,AB=2,CD=1,∠A=60°,∠B=∠D=90°,求四边形ABCD的面积.
分析 四边形ABCD是一个一般的四边形,求它的面积没有公式可以直接计算,所给已知条件又比较分散,若能借来一个直角三角形(如图1中虚线三角形DCE),四边形就转化为三角形,可以先求出三角形面积,然后再求四边形面积.
解 延长AD、BC交于点E,
在 Rt△ABE中,∠A=60°,
所以∠E=30°,
因为AB=2,所以AE=4,
所以BE=2 .
在Rt△DCE中,∠E=30°,CD=1,
所以CE=2,所以DE= , 图1
所以 S四边形ABCD = S△ABE—S△DCE= ×2×2
—
×1×
=
.
评注 在求面积的有关问题中,常运用“借来还去”法,将原图形转化成能直接使用公式求面积的图形.
例2 计算98+998+-9998+…+99…98.
(50个9)
分析 观察知每项加2,凑成第一项100,第二项1000,…然后再求和较为简单.
解 原式=(98+2)+(998+2)+(9998+2)+…+ (99…98+2)—2×50
(50个9)
=(100+1000+10000+…+100…0)—100
(51个0)
=11…1000.
(49个1)
例3 分解因式x4+4.
分析 观察知原式是两项和的形式,无法进行因式分解. 但我们通过借来一项4x2、再还去4x2 即—4x2,就可顺利运用公式法因式分解.
解 x4+4=x4+4x2+4—4x2
=(x2+2)2—(2x)2
=(x2+2x+2)(x2-2x+2)
评注 添项、拆项法分解因式就是“借来还去”的方法.
用“借来还去”法我们还可以解决生活中的实际问题.
例4 已知4个矿泉水空瓶可以跟商店换1瓶矿泉水,现有15个称泉水空瓶,若不交钱,最多可以喝矿泉水 ( )
A.3瓶 B.4瓶 C.5瓶 D.6瓶
分析 解这个问题,一般的思考方法是:12个矿泉水空瓶可以换3瓶矿泉水,喝完后再用4个矿泉水空瓶换回1瓶矿泉水,这时只有3个矿泉水空瓶,不能再换矿泉水了. 于是得到错误的答案3+1=4(瓶). 其实,我们可以运用“借来还去”的方法,只要跟商店借1个矿泉水空瓶,就可以又换1瓶矿泉水了,待喝完后,再把空瓶还给商店,这样最多可以喝4+1=5(瓶). 因此正确答案选C,这就是运用“借来还去”方法解题的妙处.