直线与平面相交的交点的确定方法与可见性判定

直线与平面相交的交点的确定方法与可见性判定

墙新

重庆工贸职业技术学院 重庆 408000

摘要: 直线与平面相交的交点的投影确定，对于特殊位置直线或特殊位置平面可以利用其投影的特殊性求解，对于一般位置直线与一般位置平面相交的交点需用辅助线法求解，其投影均须判别可见性。

关键词: 直线与平面 投影 交点

特殊位置直线有投影面平行线、投影面垂直线，特殊位置平面有投影面平行面、投影面

垂直面。直线与平面相交的交点的确定方法与可见性判定的情况分析如下。

一、一般位置直线和一般位置平面相交

如图1（a）所示为求一般位置直线EF和一般位置平面ΔABC交点的投影，可通过直线EF作辅助平面P，与平面ΔABC的交于直线MN，同在平面P上的两直线EF和MN（MN为ΔABC上的一条直线），必有一交点K，即为直线EF与平面ΔABC的交点。因为K在EF上，又在MN上，所以必在EF和平面ΔABC，即K为EF与平面ΔABC的公有点，亦即所求的交点，见图1（b）所示。这种求交点的方法称为辅助平面法。

（a） （b）

图1 一般直线与一般平面相交

通过辅助平面法求交点，具体分为三个步骤：

（1）过已知直线作一辅助平面。为使作图简单，辅助平面应选择投影面的垂直面，如正垂面、铅垂面等；

（2）求出辅助平面和已知平面的交线；

（3）已知直线和上述交线的交点，即为直线与平面的交点。

下面通过图2看一下求直线EF和平面ΔABC的交点投影作图方法。

作图方法如下：

（a）已知条件 （b）包含直线EF作铅垂面P， （c）求出平面P与平面ΔABC

则铅垂面P的水平投影P_H与 的交线MN，因为铅垂面P的

ef重合； 水平投影具有积聚性，直接定

出mn，再求出m′n′；

（d）交线的正面投影m′n′和直线EF的 （e）判断可见性。

正面投影e′f′的交点k′，即为交点的正

面投影，过k′向下作OX轴垂线和直线

EF的水平投影ef相交，求出交点的水

平投影k。

图2 求作一般位置直线与一般位置平面的交点

因为直线EF和平面ΔABC均处于一般位置，H面、V面投影均要分别判断可见性。

先判断正面投影的可见性。

平面ΔABC中的AC边和直线EF的正面投影重影点为1′（2′）。I点在EF上，II点在AC上，由1′（2′）求出其水平投影1、2。由水平投影可以看出1在2的前面，说明I点的y坐标大于II点的y坐标，即点I在点II的前方。向V面投影，EF上的I可见，AC上的II不可见，所以k′f′与Δa′b′c′的重影部分为可见。那么，k′e′与Δa′b′c′的重影部分就不可见。

再判断水平投影的可见性。

平面ΔABC中的BC边和直线EF的水平投影重影点为3（4），III点在EF上，IV点在BC边上，由3（4）求出其正面投影3′、4′。由正面投影可以看出3′在4′的上面，说明III点的z坐标大于IV点的z坐标，即点III在点IV的上方。向H面投影，EF上的III可见，BC上的IV不可见，所以ke与Δabc重影部分可见。那么，kf与Δabc重影部分就不可见。

二、一般位置直线与特殊位置平面相交

见图3所示求直线AB与P面的交点，并判别直线AB的可见性。空间示意图如图4所示。

图3 一般直线与P面相交 图4 一般直线与P面相交空间示意

方法如下：根据投影特性可以判定平面P是特殊位置平面，P面在H面的投影具有积聚性是铅垂面，直线与P面在H面的积聚投影的交点即为直线AB与P面的交点。因其在H面上投影的特殊性，无需在H面判断可见性，但在V面上须判定重影点的可见性。参照图2的可见性判断方法，结果如下图5所示。

图5 一般直线与P面（铅垂面）相交

三、特殊位置直线与一般位置平面的交点

见图6所示求特殊位置直线MN与一般位置ABC平面的交点，并判别直线MN的可见性。空间示意图如图7所示。

图6 特殊位置直线与一般位置平面相交 7 特殊位置直线与一般位置平面相交空间示意

分析：根据投影特性可以判定直线MN是特殊位置直线（正垂线），三角形ABC是一般位置平面。交点是直线上的点也是三角形平面上的点。同时交点也在三角形平面上的辅助线上，参照图2的方法在正面投影的三角形平面上作辅助线求三角形水平投影的交点、在H面上判定重影点的可见性，结果如下图8所示。

图8 特殊位置直线（正垂线）与一般位置平面相交

掌握了一般位置直线和一般位置平面相交的方法，则对于有特殊位置直线或特殊位置平面的投影求交点的情况就可以轻松解决了。

参考文献

1. 《建筑制图基础》 主编 杜军 中央广播电视大学

2.《建筑制图与识图习题集》 主编 张喆 北京邮电大学出版社

4