等价转化在初等数学解题中的运用

等价转化在初等数学解题中的运用

邓玮

玉龙县第一中学

引言 求解一个数学问题，直接对它的求解，我们有时会感到束手无策,若我们换一个角度,也就是说我们若能把问题转化为另一个基本问题或者我们熟悉的问题,那么这个问题也就解决了,这就是所谓的转化思想。

一．转化思想的解释

解题的过程就是命题转化的过程,每一个命题都有多个不同的转化方向和途径.因此,怎样探索和选出最佳的转化方向和途径,就成了解题的关键.转化的思想方法，就是将不熟悉和难解的问题转化为熟知的和易解的或者已经解决的问题，将抽象的问题转化为具体直观的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将实际问题转化为数学问题。

转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。由于篇幅所限，本文重点讨论等价转化。

二、转化思想的意义

转化，说得简单一点就是把问题变化、变换,变换为一个简单的问题，对于这样的变换，变化,我们是有目的的，其目的就是变化出一个已知的数学问题,就是通过变化,使面临的问题转化为自己会解决的问题。

转 化思想如下图所示：

转化思想的应用中涉及到三个基本要素，即转化的对象、目标、方法。转化的对象就是我们所临的数学问题，转化的目标就是某一直数学问题，由转化的对象和转化的目标的内在联系。

三、转化思想解题的一般模式

我们根据解题的实践, 一般来说,转化不会一步到位,往往需要进行多次的转换;此外,转化也往往不是单向的,完全确定的过程,而是包含有多次尝试与多次反复的复杂的过程。可以归纳出转化的一般模式是：

其中的问题→问题1,问题i→解答i→问题i+1 分别是一步的转化。上述模式仅理想的情形。

四、等价问题法体现转化思想的运用

等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。

Ⅰ 等价转化所遵循的基本原则

ⅰ、熟悉化原则：把生疏的转化为熟悉的，把未知的转化为已知的，把非典型的转化为典型的以充分利用已知的知识及解题经验。

例1（1）若对任意实数，方程至多有一个是实数根，求实数的取值范围

（2）马路上有编号1，2，3…8，9的九只路灯。为了节约用电，可以把其中的三只路灯关掉，但不能同时关掉相邻两只或三只，也不能关掉两端路灯，求满足条件的关灯方法

[略解]（1）原问题曲线与至多有一个交点函数有反函数函数在单调

（2）原问题六个0中间插入三块隔板且不在两端 ∴所求方法（种）

ⅱ. 简单化原则：把复杂的转化为简单的，化难为易。

例2 设为实数，试求出关于的方程的实数根的范围

[略解] 原问题求关于的方程有实数解时的取值范围 ∴

ⅲ、直观化原则：把抽象的转化为具体的，把数的转化为形的，以充分利用形的直观性揭示数学问题的本质属性。

例3 解不等式

[ 略解] 令，

作图像如右

∴原不等式

Ⅱ. 等价转化的主要途径、方法

ⅰ、从问题的形式、特征选择转化途径：所谓数学问题的形式是指问题的条件和结论的表象特征，从而数学问题的形式必是数学问题内涵信息的载体，一个数学问题的形式往往隐含着如何从条件通向结论的启示，抓住问题的形式、特征进行分析，往往得到启迪而有助于选择转化途径。

例4 （1）证明方程对任何实数a都有两个实根，且一根大于m，另一根小于m （2）已知两等差数列和，它们的前n项和之比为，求

[略解] （1）令,则原问题方程恒有一正根，一负根这显然成立

（2） ∴原问题求有：

ⅱ、从命题的等价性选择转化途径：对于一个难以入手的命题，可以运用充要条件的思想，把命题转化为易于解决的等价命题，每一个等价命题都能提供一个解题思路，因此熟悉并掌握命题的多种等价形式是转化顺利的前提，同时也是解法灵活的基础。

例5 已知椭圆（），A、B是椭圆上的两点，且线段AB的垂直平分线与轴相交于点，求证：

[ 略解] 设AB中点为M，

[转化1] 原问题

∴ ∴

[转化2] ∴原问题

∴ （下略）

[转化3] 设

则原问题 （下略）

ⅲ、从不同的数学结构的关系映射选择转化途径：当一个数学问题在原来的结构体系中直接求解较为困难时，可以通过数学变换，把它等价映射到另一结构体系中去，使问题获解。

例6 设单位圆内任意两点，为以线段AB为直径的圆上任意一点。求证：

[略解] 设A、B、P对应的复数分别为

则原命题若，且， 求证：

则

例10 求同时满足下列两个条件的所有复数z （1）是实数，且（2）z的实部和虚部都是整数

[略解] 设则原问题实系数方程的复数解其实部、虚部均为整数

∴∴ ∴

 Ⅲ.几种常见的等价转化思路

ⅰ、利用数学定义、公式构造数学模型进行等价转化

例7（1）求函数的反函数定义域 （2）求的值

[略解]（1）， 令A(-1)，B(1)∴求的反函数定义域的值域求分AB为定比的分点的范围∴

（2）注意到所求式与余弦定理类似

由

∴原式=

ⅱ． 构设函数、方程及不等式进行等价转化

例8 设函数定义域为D，若存在，使成立，则称以为坐标的点为函数图像上的不动点。若函数图像上有两个关于原点对称的不动点，求、应满足的条件。

[略解] 设为不动点 ∴ ∴原问题方程（＊）有两个互为相反数的实数根 由（＊） （）

∴ ∴

ⅲ．引入相关参数进行等价转化：在有关探求参数的取值范围问题中，当直接构设以参数为元的不等式较为困难时，常可引入的相关系数，借助把问题进行等价转化.

例9 已知椭圆C：（），其长轴两端点为A、，如果C上存在一点Q，使。求的取值范围

[略解] 设（为与相关的参数）由对称性，不妨设 （B）

,

∴(A)

解（B）(A)

∴

参考文献：

1.怎样解题 G.波利亚 上海科技教育出版社 2002

2.数学方法与解题研究 戴再平 高等教育出版社 1996

3.数学习题理论 戴再平 上海教育出版社 1996

4.数学方法论搞 张奠宙 过伯祥 上海教育出版社 1993

5.数学方法论 王子兴 中南大学出版社 2005

6.初等数学提炼，精选，强化 张嘉瑾 南京大学出版社 1991

7.高中数学解题通法与巧法 帅世力 周海华 广西教育出版社 1993

8.高中数学解题思想与方法 张克继 未来出版社 1986

9.数学思维能力训练 冯跃峰 海洋出版社 1990

10中学数学方法的综合运用 欧阳维诚 唐德论 湖南教育出版社 1981

11.中学数学解题方法 何履端 河南教育出版社 1985

12.数学方法论教程徐利治 朱梧贾 郑毓信 江苏教育出版社 1992

13数学“定向”分析法 顾越岭 北京师范大学出版社 1993

14.数学解题方法 梁法驯 华中理工大学出版社 1995

7