注重基础 挖掘教材一道中考模拟试题“圆”的命制过程

注重基础 挖掘教材一道中考模拟试题“圆”的命制过程

陈军军

云南师大附中呈贡校区，云南 昆明 650 5 00

【摘要】通过研究近几年的中考数学试题，“圆”的某种类型的试题在中考中多次出现，我们来研究其基本模型的构成和解决的方法，通过不同方法的解决，使学生深刻理解这种模型以及对圆的知识的融会贯通。使学生掌握运用勾股定理、相似三角形、锐角三角函数等数学工具解决线段长度和角度的基本问题。

【关键词】圆；命题思路；多种方法；通法

一.问题的提出

从全国各省市的中考数学试卷中不难发现，“圆”是每套中考试卷必考内容。其原因有二，首先，以圆为载体的几何图形，可以囊括初中阶段所学的所有几何知识，因此以圆为载体可以命制一道综合性较强的试题，全面考察学生对整个初中平面几何的理解和掌握；其次，首次以量化的形式来计算简单的曲线图形（弧长和扇形面积），现实生活中的很多图形都是由曲线构成，学生学习之后对现实世界有一个初步的量化感知。课本对学生的学习具有绝对的导向性，大多数中考试题是由课本中的例题（或习题）改编而来，一般都能在课本上找到原型，特别是一些由基础知识推广与拓展、培养学生理解问题和分析问题、解决问题的题目，这类试题紧扣课本和大纲，体现了基础性和学好课本知识的重要性，对于引导师生重视基础 、重视教材 、研究教材、用好用活教材，均大有好处。2019年江苏淮安中考数学第24题，2019年黑龙江齐齐哈尔中考数学第20题，还有各省市的模拟试题都考察了某种类型的题目。基于此，我们以一道中考模拟试题“圆”的命制过程，来说明中考试题怎样由课本习题过渡到中考的。不当之处，请指正。

二.模型的构成

1.“角平分线、平行线、等腰三角形”模型（八年级上册课本P78例2）

如图1，“角平分线、平行线、等腰三角形”三者中知二推一。

2.角平分线、平行线、等腰三角形模型与圆的结合（人教版九上P102第12题）

原 题模型：如图2， 为 的直径，点 为 上一点， 和过点 的切线互相垂直，垂足为 .求证： 平分 ；

三.课本习题改编

命题思路：课本上的这道题只是对圆进行定性分析，并没有定量分析，所以思考对这道题进行完善，而解决角度和线段长度的工具有勾股定理、相似三角形、锐角三角函数。锐角三角函数和勾股定理必须放在直角三角形中才能进行，知道直角三角形两边通过勾股定理可求其另一边，知道两边通过锐角三角函数可求任意角，知道一角一边可求边和角，所以在求角和求边的问题中，一般是已知的两边或者一角一边。在没有数据的情况下求角，通过几何性质推理，角度一般是特殊角 。锐角三角函数是联系线段长度和角度的工具，本道题有现成的垂直条件，也有暗含的垂直关系，所以对此题进行深化改进并不难。很多题目在设置线段长度时，数据带有 ，学生结合图形可以猜出角度的度数，为了避免猜结果的情况发生，需要对数据做改进。想到 和 ，再有一个垂直，就是矩形了，同时又构造了新的直角三角形，那就过点 作 ,垂足为 ，得到矩形， 和 是已知条件，可以轻松求得 ，知道 ，余弦定义可以快速求出角 ，只要 是 就好，为了避免数据中带有 ，选择 ，化简为 ，因此数据设置为 ；

1.改编题目

例1：如图， 为 的直径，点 为 上一点， 和过点 的切线互相垂直，垂足为 .

（1）求证： 平分 ；（2）若 ，求 的度数．

2 .多种方法解答第二问

（2）解法一：如图3，知道两边求角，将其置于直角三角形中采

用三角函数处理，已知条件 ，而 不是 的边，

所以想到延长 交于点 ，通过观察只要知道 ，

中就知道两边，此题就可解，所以解决 的长度是解决此题的关键，

是线段。选择相似三角形来做，而相似是两个三角形之间的关系，

寻找另一个三角形，由（1）可知 ，所以 ，

通 过计算得到 。

方法二：如图4，知道两边求角，将其置于直角三角形中用三角函数处理，

由（1）可知 平分 ，那么求出 或 都可以解决本题，

要求 或 的大小，分别置于 和 中，但是

两个三角形都只知道一条边，要是能再得到一条边就可以解决，我们可以发

现这两个三角形有一条公共边 ，既然是公共边置于两个三角形中，而相似

处 理的就是两个三角形的关系，采用相似，算出 ,此题解决。

方法三：如图5，知道两边求角，将其置于直角三角形中用三角函数处理，

想到 和 ，再有一个垂直，就构造了矩形，同时又构造

了新的直角三角形，那么过点 作 ,垂足为 ，得到矩形 ，

和 是已知条件，可以轻松求得 ，知道 ，通过余弦可以

快速求出角。

方 法四：如图6，由（1）可知 平分 ，由角平分线的性质可以

知道辅助线的作法，过点 作 ，垂足为 ，产生了全等

三角形和直角三角形，可以得出 ，得出 垂直平分 ，

半径的垂直平分线产生等边三角形，得到

，问题解决。

方法五：如图7，已知 的长度，要是能知道 的长度，就能解决，

由 （1）可知 平分 ，由角平分线的性质可以知道辅助线的作法，

过点 作 ，垂足为 ，产生全等三角形和直角三角形，可以得

出 和 ，由方程得出 的长度，通过正切解决问题。

例3：如图11， 为 的直径，点 为 上一点， 和过点 的切线互相垂直，垂足为 ， 与 的延长线相交于点 .若 ，求 的长度．

四．启迪反思

1. 对于中考数学中有关圆的题目，灵活运用“勾股定理、锐角三角函数、相似”这种思路进行分析，用其解决“线段长度和角度”为基础的问题，结合已知条件，运用相关的几何知识，问题便迎刃而解。寻找基本模型，基本数量即线段、角度的关系，从特殊的实例中去发现一般的结论，这正是把握中考命题趋向的关键所在。

（2）在中考备考教学中，主要是习题的讲解，题目千千万，学生做不完，老师要跳进题海，学生才能跳出题海。我们老师要从中找出重要模型，对题目进行各种改编，以不变应万变，以一种模型尽可能多的覆盖所学内容，做到串“链”成“片”，融会贯通，这样学生对于知识的理解更加深刻。一题多解培养学生的发散思维，帮助学生触类旁通，从而达到举一反三的效果，充分调动学生思维的积极性， 提高综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧，引导他们灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥他们的创造性。老师不但要重视题目思路来源和讲解过程，更重要的是重视解题后的反思、总结和归纳。在教师的引导下，学生从不同角度分析，感悟，掌握解决问题的通法和特殊方法。

姓名：陈军军，出生年月：1987.08.13，学历：硕士研究生，职称：中一

3