初中数学“一题多解”法之探究

初中数学“一题多解”法之探究

周圣佳

湖南省洪江市实验中学 418100

一题多解的重要意义

江泽民曾指出：“创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达不竭的动力。” 一题多解的训练，可开拓学生思路，提高学生思维的灵活性和敏捷性，培养学生创造思维能力，发展学生创造力。数学教学过程中，让学生大胆尝试，奇思妙想，视野更加开阔，思维更加活跃，使学生在自由思考的空间探索中大大提高创新思维能力。

在初中数学教学中，不失时机地通过引导学生进行一题多解的训练，通过广泛的联想，使学生的思维触角伸向不同的方向，不同的层次，这样不仅能巩固所学知识，而且能较好地培养学生思维的广阔性。一题多解有利于培养学生思维的灵活性。数学是思维的体现，解决数学问题是学生学习数学的目的，因而如何通过解题活动来培养学生良好的思维能力，应是数学教学的中心问题。数学题海战术，不仅不会促进思维能力的发展、技能的形成，反而易使学生疲劳，兴趣降低，桎梏学生的智慧，只有“闻一而知十”的一题多解，才能激发学生浓厚的学习兴趣，促进学生思维品质的发展。

二、一题多解的主要思想方法

（一）互逆思想。如分率问题。逆向解决：抓住题目中数量间的本质联系，可以直接列出算式解决，计算步骤简练、思路严谨巧妙，注重对应数学思想的应用。顺向解决：看不出抽象的联系，依据题目直观呈现的数量关系，让未知量参加运算，列方程很容易加以解决。（二）类比思想，众多客观事物中，存在着一些相互之间有相似属性的事物，根据它们的某些属性相同或相似，推出它们在其他属性方面也可能相同或相似之处。数学教学中常用这种类比思想去思考问题，发现问题和解决问题。（三）转化思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。如：代换转化、已知与未知的转化、具体与抽象的转化、数形转换等。（四）巧作辅助线 ：也可达到一题多解。几何证明通过添加辅助线，使图形的隐藏性质得以显现，从而利用有关性质去解题。或使分散的条件得以集中体现，从而利用它们的相互关系综合解题；或是把新问题转化为已经掌握的旧知识加以解决。

一题多解探究举例

（一）巧作辅助线，一题多解。

例1.如图1，在 中，AB=AC，E在CA的

延长线上， .求证：

教师引导首先学生分析：要证 ,首先延长EF

与BC相交于点Ｄ，如图2.也就是证明 ，思路一：

根据垂直的定义判定，可证 思路二：转换思路 ，两锐角互余三角形是直角三形，也可得_.思路三：巧作辅助线，如等腰三角形，

由三线合一可证垂直。一条直线垂直两条平行线中的一条，必垂直另一条，也可得_.

证明：（方法一）如图2，延长EF与BC相交于点Ｄ如图2，

引导学生根据平角的定义，_，可证明

_{，即可 ，所以 。}

_{证明：（方法二）如图2，延长EF与BC相交于点Ｄ}AB=AC，

_又又_，

_即

_{证明：（方法三）} 如图２，同理，通过引导学生类比联想，证明 得

_{证明:(方法四）引导学生转换思路，作FG∥EC，可证}

是等腰三角形，且FD 是角平分线，由三线合一性质可得

，如图3，延长EF与BC相交于点Ｄ，作FG∥EC，

_{则 又}AB=AC

_{是等腰三角形又 ，}

_{即FD是 BFG的角平分线即}

证明:(方法五）如图4，延长EF与BC相交于点Ｄ，并延长CB至G使EG∥AB，（证明方法基本同方法四，只是辅助线的作法不同而已，殊途同归）

证明:(方法六）如图5，延长EF至G使BG∥EC，与BC交于点D，证明方法与方法三还是大同小异。

证明:(方法七）因为 中，AB=AC，所以是等腰三角形，可以作等腰三角形常见的高，如果AG∥EF，根据同一条直线垂直于平行线中一条，必垂直另一条。从而得出

证明： 如图 6，延长EF与BC相交于点Ｄ，作 交BC于点G

AB=AC，_又，

_即AG∥EF

、数形结合，一题多解

数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又提示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来并充分利用这种结合，寻求解题思路，使问题得到解决。

初中数学解题时即可用代数方法，也可用几何方法，还可用数学形结合法。从而做到一题多解。

例2.如图7，正比例函数 图象与反比例

函数 的图象交于A、B两点，过点A作AC

垂直 轴于点C，连接BC，若 的面积为2.

（1）求 的值及反比例函数的表达式。

（2） 轴上是否存在一点D，使 为直角三角形？若存在，求出点D的坐标，若不不存在，请说明理由。

分析：问题（1）主要考查待定系数法求出反比例函数解析式

问题（2）求符合条件的D点坐标，可以试用铅笔在原图上作出符合条件的图形。再根据图形用代数法或几何方法或数形结合法求解。

解：（1） 很容易求出 反比例函数

_{（2）反比例函数}和正比例函数 都过A点，联立方程组

_{解得点A（1，2），点B（-1，-2），所以C（1，0）}

当 为直角时，D点可以在原点两侧各有一点D_１、D_２。 且两点关于原点对称。如图8.设D₁（ ，0）引导学生用“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”定理很容易求出D_１坐标。

在 中

又

所以D₁( ,0) 直接得出对称点D₂( ,0)当直角为 时，此时D_{3 、}D₄也在原点两侧，且关于原点对称。如图9. 设D₃（ ，0）

①求D₃坐标方法一：

在 中用两点间距离公式得

解得 所以D₃ （5，0） ， 由对称性得D₄（-5，0）

②求点D_３坐标方法二：

_{通过观察推理，图9中}∽ ，且AO，CO已求出，利用相似比（也就是射影定理的应用）容易求出OD₃长度，从而得出D₃坐标.进而D₃关于原点的对称点D₄坐标。 ∽

_即

③求点D_３坐标方法三：

_{过点D的直线过点A且与AB直线y=2x垂直，根据平面直角坐标系中垂}

_{直直线的一次函数解析式系数K关系 得直线AD3解析式为 ，且过点A（1，2）}

_{所以 所以直线AD3解析式为}

_{当y=0时，x=5 . 所以D3（5，0） ，并得出对称点D4（-5，0）}

总之，一题多解的教学，有利于培养学生探究精神和对数学研究的兴趣，培养学生的思维品质，是开发智力、培养能力的一种行之有效的方法，它对沟通不同知识间的联系，开拓思路，培养发散思维能力，激发学生的学习兴趣都十分有益。在数学教学中，适量地采用一题多解的方法，进行思路分析，探讨解题规律和对习题的多角度“追踪”，能帮助学生巩固数学基础知识，提高分析问题和解决问题的能力，培养学生创新思维。