数学教学中如何培养学生的唯物辩证法观点

数学教学中如何培养学生的唯物辩证法观点

杨星光

杨星光云南省德宏职业学院678400

摘要数学是辩证的辅助工具和表现形式。数学中充满着矛盾，蕴含着丰富的辩证思想，教学中培养好学生的唯物辩证法观点，不仅对学生学好数学和其它专业知识，而且对学生形成科学的世界观，掌握分析问题解决问题的科学方法都是至关重要的。

关键词数学教学培养学生辩证法观点

无论是数学概念还是数学定理、公式、运算法则及解题过程中，都充满着矛盾，学习数学就要认识和解决这些矛盾，因此，数学教学也最有利于培养学生的对立统一的辩证观点。许多数学概念、公式、定理、运算法则及各种形式的运算之间又有密切的联系，它们互相影响，互相制约，在一定的条件下互相转化，教学中可培养学生的唯物辩证法普遍联系的观点。学生进入中学后就学习变量数学（如函数知识），运动进入了数学，某些数学概念的转变和运算的过程中，常常可以反映出由量变到质变的过程，通过教学可培养学生的唯物辩证法运动变化的观点。下面结合教学实践谈点陋见，仅供参考。

在概念的教学中，培养学生的对立统一的辩证观点

数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映，数学概念中的对立统一性比比皆是：正数与负数，质数与和数，有理数与无理数，指数与对数，实数与虚数，常量与变量，函数与反函数，连续与离散，可导与不可导，收敛与发散，对称与不对称，均匀与不均匀，线性相关与线性无关…它们都是一个统一体的两个对立面，既对立又统一，相互影响，相互依存，在一定条件下可以互相转化。

如，实数与虚数是复数的两个对立面，复数是它们的统一体，复数的虚部为0时就是实数，不为0时就是虚数；任何一个不为0的实数乘以虚数单位i就变为虚数，任何一个虚数乘以它的共轭复数就变为实数。

又如，常量与变量是相对的，（小学数学是常量数学，中学数学既有常量数学又有变量数学，高等数学是变量数学），实现常量与变量的转化是数学中最基本的问题，像在求曲线的长度、不规则图形的面积、旋转体的体积、平面薄片的质量、变力作的功等等时，都是通过适当（或任意）无限分割与求和，再通过极限过程实现常量与变量的转化。

再如，函数y=f（x）与反函数y=f^-1（x）（若存在）是两种对立的函数（确定它们的一一映射互为逆映射），它们互为反函数，通过解方程(视y为常数)可以互化，它们相互依存，失去一方另一方也就不存在；它们的定义域与值域刚好相反，图像关于直线y=x对称，单调性在各自的定义域上总是一致。

通过概念的教学，让学生懂得正是由于数学本身的矛盾运动和生产、科学的发展需要，促使数学不断向前发展，培养学生对立统一的辩证观点，反过来又用唯物辩证法的观点指导我们的学习，这样不但对于所学习的数学概念等知识容易记忆，而且理解得更全面更深刻。

2、在定义定理公式运算法则等的教学中，培养学生普遍联系的观点

数学中的定义、定理、公式、运算法则、研究对象、各种形式的运算及一些重要的数等并不是孤立存在的，彼此之间是互相联系的。有的表面看来毫无联系，但实际上还是有联系的，只是联系的形式和程度不同，有的是表面的直接的联系，有的是隐含的间接的联系，有的联系比较紧密，有的联系比较广泛。

（1）定义之间联系的例子。如，椭圆、双曲线和抛物线定义，都可表述为平面内到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比等于一个常数e的动点的轨迹(0＜e＜1时轨迹是椭圆,e＞1时轨迹是双曲线,e=1时轨迹是抛物线），而且轨迹方程也可用极坐标统一表示为=。

（2）定义与定理、定理与定理之间联系的例子。如，在三角形中有一个内角是直角时由正弦定理可得锐角的正弦定义（斜边正是三角形外接圆直径），由余弦定理可得勾股定理。

（3）公式之间联系的例子。如，在三角函数的和角公式中，当两个角相等时，即得2倍角公式，在2倍角公式中用半角换单角即得降幂公式和半角公式等。

（4）运算法则之间联系的例子。如，根据指数式与对数式的等价关系可将指数、对数运算法则互化。

（5）各种运算之间联系的例子。如，根据牛顿——莱布尼茨公式

可将定积分运算化为求原函数（求导逆运算）；又如，根据格林公式可将平面曲线积分运算化为二重积分运算，根据累次积分定理又可将二重积分运算化为一元定积分（x或y暂时看成常量）运算。

数学定理和公式是反映数学对象的属性之间的关系的，它们把许多数学概念或数量联系在一起，呈现出一定规律性。一些表面看来毫不相关的数和数学对象等，实际上是有紧密联系的。如数学中非常重要的五个数0、1、∏、i、e（e=2•718…）著名的欧拉指数公式e^∏i+1=0

将它们紧密地联系了在一起；数学研究的两大对象“数”和“形”以坐标系为桥梁也紧密地联系在一起。数学的各分支和各部分之间都有普遍联系。

在定义、公式、定理、运算法则及各种形式的运算的教学中培养学生唯物辩证法普遍联系的观点，使学生学会将数学知识条理化、系统化、网络化，方能触类旁通，运用自如，这对学生掌握数学知识，提高学生的数学能力是很重要的。

在解题教学中，培养学生运动变化的观点

学生进入中学后就要学习变量数学，如函数、平面解析几何、离散型随机变量的概率等，“有了变数，运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学…”。事实上，常量数学中也有运动，如平面图形的平移、旋转，一些空间几何体如圆锥，圆台、圆柱、球等分别是由直角三角形、直角梯形、矩形、半圆旋转所形成的。美国数学家哈尔莫斯说：“数学真正的组成部分应该是问题和解,解题才是数学的心脏”。数学解题教学是实现数学教学目的的重要手段。数学解题过程中始终充满着各种形式的运动和无穷的变化，唯物辩证法的质量互变规律也可得到充分体现。

如（1），数学中的各种曲线（含直线）都可以看成适合某种条件的动点轨迹，（像摆线，是车轮（圆周）上一点当车轮沿着一条直线轨道无滑动滚动时的轨迹，动点同时作圆周和直线两种形式的运动），求曲线方程的关键是用动点坐标表示出动点所满足的条件。

如（2），用定义求曲线上一定点处的切线斜率（导数）就是求让动点沿着曲线趋于定点时割线斜率的极限，运动过程是由量变到质变。

如（3），在三角函数中求最小正周期、最值和单调区间等（高考的热点问题，如，2012年全国高考文科数学试题湖北卷18、设函数f（x）的图像关于直线x=对称，其中如（4），将y=sinx的图像变换成上述（3）中（*）的图像，是典型的图像变换问题。

如（5），向量运算：两个向量相加、减，实数乘向量，向量×向量都是“量变”,因为运算结果都仍然是向量,而向量向量就是“质变”,因为运算结果是实数。

如（6），求常数项无穷级数的过程是一个由有限到无限，又由无限到有限，由近似到精确，由量变到质变的过程；而将函数展开成幂级数（是借助极限把有限化为无限，是由“质”到“量”的转化。解题过程是典型的质量互变过程。

数学的解题过程总是根据相关数学知识和方法，把代表着某些量的式子（包括集合、矩阵等）由一种（或几种）形式变为另一种（或几种）形式的式子，或把表示某种函数关系的图形、几何体等进行变换（平移、旋转、伸长、压缩、割补等）等，化繁为简，“化简为繁”，化难为易，化陌生为熟悉，化未知为已知，数学中这些形式的转变正是数学最有力的杠杆之一，掌握这些变化（变换）的规律性成为解题的关键，因此，运动与变化的观点是数学思想方法的核心。在解题教学中培养学生运动、变化的观点，有利于学生掌握重要数学思想和方法，从而有利于培养学生的抽象概括能力，理解能力，提高解题能力，逐渐形成和发展数学能力。

总之，尽管数学只研究物质纯粹的数量关系和空间形式而抛开物质的其它性质不管，但数学研究的各种数量关系和空间形式无论多么抽象（如各次微分、无穷大、某些函数关系（如黎曼ζ函数）等），自然界都为他们提供了原型，数学终归是反映客观世界规律的科学，

因此，“数学是辩证的辅助工具和表现形式”也就成为科学论断，运动变化是物质的固有属性，也是数学的固有属性。对立统一规律是唯物辩证法的根本规律，也是宇宙的根本规律，唯物辩证法是关于普遍联系的科学。数学教学中培养好学生的唯物辩证法观点，是教师寓德育于智育教育之中的重要体现，不但对学生学好数学和其它专业知识，而且对学生形成科学的世界观，掌握分析问题解决问题的科学方法都是至关重要的，将影响学生终身。

参考文献

【1】马克思恩格斯全集自然辩证法[M]。人民出版社，1979年3月第一版，357，602.

【2】江泽坚编，数学分析下册[M]。人民教育出版社，1965年12月第一版，156,107。

【3】黄永明，亢红道，中学数学教学法概论[M]。云南大学出版社2003年1月第一版，109。