导数与函数的单调性

(整期优先)网络出版时间:2019-09-19
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导数与函数的单调性

焦成刚

山东省滨州市滨城区第二中学256600

考点一:求函数的单调区间

例1:求函数f(x)=xlnx的单调区间。

解:∵f(x)=xlnx,∴f(x)的定义域为(0,+∞),∴f`(x)=lnx+1。

令f`(x)>0,则x>;令f`(x)<0,则0<x<。

所以,函数f(x)=xlnx的单调递增区间为(,+∞),单调递减区间为(0,)。

【规律总结】

求函数单调区间的步骤:

1.确定函数的定义域。

2.求导函数f`(x)。

3.解不等式f`(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间。

4.解不等式f`(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间。

考点二:含参数的函数的单调性

例2:已知函数f(x)=ln(ex+1)-ax(a>0),讨论y=f(x)的单调区间。

解:f`(x)=-a=1--a。

(1)当a≥1时,f`(x)<0恒成立,所以y=f(x)在R上单调递减。

(2)当0<a<1时,由f`(x)>0,得(1-a)(ex+1)>1,解得x>ln。

由f`(x)<0,得(1-a)(ex+1)<1,解得x<ln。

所以,当0<a<1时,y=f(x)在(ln,+∞)上单调递增,在(-∞,ln)上单调递减。

综上所述,当a≥1时,y=f(x)在R上单调递减;当0<a<1时,y=f(x)在(ln,+∞)上单调递增;在(-∞,ln)上单调递减。

【规律总结】

1.研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论。

2.划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为零的点和函数的间断点。

3.个别导数为零的点不影响所在区间的单调性。

考点三:已知函数的单调性,求参数的取值范围

例3:已知函数f(x)=x2+4x+alnx,若函数f(x)在[1,2]单调递增,求实数a的取值范围。

解:f(x)的定义域为(0,+∞),f`(x)=2x+4+=。

因为函数f(x)在[1,2]单调递增,所以f`(x)≥0在[1,2]恒成立。

即2x2+4x+a≥0在[1,2]恒成立,

即a≥-(2x2+4x)在[1,2]恒成立。

令g(x)=-(2x2+4x),只需a≥g(x)max即可。

∵1≤x≤2,∴-16≤g(x)≤-6,∴a≥-6。

变式一:

若函数f(x)在[1,2]单调递减,求实数a的取值范围。

答案:a≤-16。

变式二:

若函数f(x)在[1,2]上存在递增区间,求实数a的取值范围。

解:f(x)的定义域为(0,+∞),f`(x)=2x+4+=。

因为函数f(x)在[1,2]上存在递增区间,所以f`(x)≥0在[1,2]有解。

即2x2+4x+a≥0在[1,2]有解。

即a≥-(2x2+4x)在[1,2]有解。

令g(x)=-(2x2+4x),只需a≥g(x)min即可。

∵1≤x≤2,∴-16≤g(x)≤-6,∴a≥-16。

【规律总结】

根据函数单调性求参数的取值范围一般思路:

1.若y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集。

2.y=f(x)为增函数(或减函数)的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f`(x)≥0(或f`(x)≤0)且在(a,b)内的任一非空子区间上f`(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解。

3.函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题。