三角变换的解题策略

三角变换的解题策略

吴清蓉

四川大英中学吴清蓉

高考中本部分所占分值在14～18分，主要以选择题和解答题的形式出现.主要考查内容按综合难度分，有以下几个层次：

第一层次：通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题.如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等.

第二层次：三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用.如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等.

第三层次：充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题.如分段函数值，求复合函数值域等。

三角变换要善于三看，所谓的三看，就是看三角函数的式子结构，看函数的种类、看角的异同。很多三角函数的求值，化简证明的题目，往往表现为式子结构较为复杂，函数名多个并存，角的变化多样，要解决好这类问题我们必须本着数学上的基本思想：化归思想，统一思想。从这个角度出发将三看解题策略归纳如下：

一．看三角函数式子结构。

要做好数学题就要学会审题，拿到一个数学题后，不要急于下手，首先应仔细分析：分析条件与结论的关系；分析题目隐含的各种信息；分析它属于数学中的哪部分知识；分析要用到什么样的数学方法等。就三角函数题而言，第一看式子的结论，哪个公式接近，是用哪个公式容易化简，是否与常见题型相联系。如果看到联想到，看到容易联想到等。

例1证明：

分析：（1）由于左边较繁，由繁化简从左边入手。

（2）左边是分式结构。一般要通分：左边

（3）看分子结构。分母与二倍角公式接近，故考虑二倍角公式。分子从多项式观点看，可运用平方差，从次数上面可降幂。

（4），接近，故运用变形。

证明：左=

证法二：

左。

二、看三角函数名

根据化归和谐性原则，解决数学问题时就使待解决的问题在表达形式上趋于和谐，在数量关系方便趋于统一方向进行，使问题的条件和结论变现得更匀称，这就是要求我们在解决一个三角函数的化简，求值，证明问题时，如果三角函数的种类太多，应该利用各种关系式转化函数的种类，力达同名为目的。经常运用的有“切割化弦”“弦化切”等。

例2求的值。

分析：纵观题目中的函数种类有正弦、余弦、正切，在这种情况下，切化弦，易使问题解决，这是因为函数的公式较多，运用灵活之故。

解

三、看三角函数中的角

仍然本着化归思想下的和谐统一原则，如果某些三角函数式子中的角不同的时候，我们得努力使其向着和谐同名的方向发展，往往收到意想不到的效果。

例3求的值。

分析：从角度来看2×50=100=90+10。而50=60-10。从“三角函数的名称”来看，名称不同。应该将“正切函数”化为“弦”这样的多方面结合，问题就能简洁获解。

解：

四、三角变换在三角形内的应用

基本关系式

1、角的关系A+B+C=π

2、边的关系|b－c|<a<b+c

直角三角形中a2+b2=c2

3、边角关系

五、几点建议

立足课本，抓好基础.注意三角函数作为函数的特征的运用.如在解决周期性、奇偶性、最值等问题时有关数学思想的运用.

1．加强对三角函数图象的研究.使学生熟练地求解有关图象的特征、图象的对称性、变换、解析式、五点作图等问题.

2．熟练掌握三角变换的基本公式，弄清公式的推导关系和互相联系，把基本公式记准用熟.在三角变换中经常出现公式的逆用或变形，尤其是二倍角余弦公式、两角和差的正切的变形应用较为广泛.另外，辅助角公式应用也较多，也是考生常出错的地方，应引起注意.

3．提高学生解决常见综合题的能力，提高运用所学知识分析、提取解题信息的能力.

4．提高学生的运算和表达的能力，以及确定运算方向和实现转化的能力.

5．三角形中的三角函数问题，要注意正弦定理、余弦定理是实现“边角互换”的关键，而三角变换是解决问题的重要手段.解三角形涉及的变换较多，综合性强，对考生的应变能力和计算能力要求较高，一定要注意控制难度.

以上是对三角变换解题的合作分析。在实际应用过程中，它们不是独立的，是彼此联系的，要结合运用。做一个题往往要用到很多三角方面的知识。只要我们能理解并掌握三角变换的精髓，应用起来就会得心应手，效果极佳。