“解方程”应如何教

“解方程”应如何教

零爱花

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摘要：我县于2004年开始使用《义务教育课程标准》实验教科书，到今年已有十个年头，数学科在新教材的编写上增加了一些板块，可多数的内容都是以情境图为新知内容，这些主题图看似简单，但是如果解读不好它，就无法教给学生解题的思路与方法，也就达不到教材编写的意图。因此，教师在备课时一定要学习好大纲的要求和各个知识板块的学习目标。

关键词：数学教学；解方程；教法

笔者在使用新教材之前习惯拿了旧教材做了比较，从总体上去分析有哪些异同。五年级数学上册新教材内容与旧教材没有太大的区别，只是增加了观察物体、统计与可能性、和数学广角三个新内容，在相同的内容上，笔者发现“解方程”与以往的旧教材在解方程的过程方法上不同，怎么看起来好像挺复杂的，可是细细研究，从数学多个角度分析发现对数学思维的培养是从简了。对于这个问题我几次跟同行们在探讨：旧教材的解方程是利用算术思维根据四则运算的六个数量关系，根据已知条件，套用公式，求未知数。因此，熟记四则运算的六个数量关系，和分清未知数的位置，这样根据数量关系就能求出方程的解。现在新教材里并没有利用数量关系来解方程，而是根据天平保持平衡的规律来解，是不是新教材把解方程又复杂化了呢？而在教学过程中使用哪种方法更能让学生容易理解呢？又怎样进行教学呢？对这样的问题每个教师都有自己的看法，有的认为旧教材的方法好，有的认为可以用新旧方法结合。而我对“解方程”的方法是这样理解的：

首先，本单元在内容的安排顺序是先理解方程的意义，然后再利用天平去探索天平变化的几种情况，这样为学生怎样理解等式性质打下基础，新教材解方程是根据等式性质(即天平保持平衡的规律)来解的。而旧教材解方程，其基本依据是加与减、乘与除之间的逆运算关系，学生只要死记数量关系即可，只是为解题而解，没有真正理解等式的性质。新教材先利用“天平”为处理方程提供了一个强有力的智力图像：方程类似于一组天平，方程中的符号表示处于平衡状态，用天平平衡的道理，形象直观的帮助学生深化对“相等关系”的理解，让学生明白：在等式的两边同时进行相同的运算，那么平衡就得到了维持——这一等式的基本性质，然后利用等式的基本性质解方程。例如用新旧方法来解下面的方程：

旧方法解方程：新方法解方程：

８Ｘ&pide;３＝２.４８Ｘ&pide;３＝２.４

解：８Ｘ＝２.４×３解：８Ｘ&pide;３×３＝２.４×３

８Ｘ＝７.２８Ｘ＝７.２

Ｘ＝７.２&pide;８８Ｘ&pide;８＝７.２&pide;８

Ｘ＝０.９Ｘ＝０.９

新旧两种解方程的方法到底要用哪种进行教学呢？一些教师觉得新方法麻烦，不好用，于是还是用旧方法“解方程”。有些教师却认为用新方法进行教学，旧方法只做介绍。有的则认为两种方法都可以，只要能达到解方程的目的就行了，但是总体感觉用旧方法的教师更多些。而笔者还是用新方法进行教学，在学生熟练了旧方法再进行介绍，然后让学生自己比较选择你喜欢的方法，但是在发现答题时，旧的方法更多地需要提示，特别是分不清未知数代表什么数或记不了数量关系式时解题相对错比较多。而新的方法理解比较简单，加几就减几，乘几就除几，学生容易理解。

我们先来看看《数学课程标准》在小学阶段关于这一方面的唯一要求：理解等式的性质，会用等式的性质解简单的方程(如3X+2＝5，2X-X＝3)。这句话是否可以这么理解：如果不会用等式的性质解简单的方程，是否说明你没完成这阶段的教学目标呢？而且，新教材对这一教学内容做如此改动的原因是：在中学学习解方程用的是代数的方法，而以前根据四则运算的互逆关系解方程，属于算术领域的思考方法，而用等式性质解方程，属于代数领域的解方程。两者有联系，但后者是前者的发展与提高。这样，在解方程的教学中，学生将逐步接受并运用代数的方法思考、解决问题，使思维水平得到提高。所以，《数学课程标准》里明确规定：在小学里学习解方程也是利用等式的性质，这样中学学习不再是另起炉灶，加强了与中学数学的衔接。所以，教学“解方程”的着眼点不仅仅是去求方程的解的过程，不能演绎为操作、训练解方程技巧的过程；而是在求方程的解的过程中，进行数学模型的变换，进一步体会等式的基本性质。

但也有这样的问题：当未知数作为减数或除数时，例如用“等式的基本性质”解80-X＝67和80&pide;X＝2这类型的方程，难度较大，如果是用旧方法来解就显得更容易，可是这样的方程在新教材里是少见到的，这是属于特殊情况，未知数处于减数、除数位置，得用特殊的解决办法：把未知数移动到另一边，变成容易去掉已知数的形式。

新方法解题的目标是：解(还原)未知数(χ)。方法是：把未知数一边的已知数去掉。逆运算(加什么，减什么；乘什么，除什么……)是根据了等式的性质的原理：等式两边同时进行相同的运算，等式的性质不变。这样学生运用起来比较灵活，随机应变，不过咋看起来写得还是挺长的。试想，用旧方法来解８χ&pide;３＝２.４这个方程，传统做法就是，首先把8χ看作一个整体，在这里８χ就是含有未知数的被除数，于是，

“已知除数是3，商是2.4，要求被除数，那就是‘被除数＝除数×商’”。

经过这么一阵头脑中的数量关系转化之后，于是得出第一步解：

８χ（被除数）＝２.４（商）×3（除数）

结果就是８χ＝7.2

在８χ＝7.2，未知数χ其实就是一个因数（乘数），已知一个因数（8）和积（7.2），要求另一个因数（χ），那根据乘法逆运算就要用积除以乘数（已知因数）了。

于是，得出——

Ｘ（因数）＝7.2（积）&pide;８（因数）

最终Ｘ＝0.9

不难发现，在这样的思维中，每解一步，学生头脑中都必须理清相应的算理，充满了数量关系（这里用到了两个数量关系）。其实，这种传统算法对于强化学生对数量关系的理解是有益处的，但是，却使学生的头脑对数的感觉变得复杂。如果到了稍复杂的方程，有的题目还是用到三个数量关系，而之前学习中并没有让学生去死记这些数量关系，一下子要熟记，对一些学生来说还是有一定的难度。这样，他们要学好方程，就必须有个前提，对各种四则运算的数量关系背得滚瓜烂熟，或者经常练习，熟能生巧。学生首先必须弄清未知数在方程中属于哪个量，然后根据公式来解方程。思维过程比较复杂，老师每每都得引导学生弄清“已知什么和什么，要求什么，要怎么办？”

数学新课程理念下的解方程，则“要求学生在解方程的过程中，探索、理解等式的基本性质，再运用等式的基本性质解方程。”为什么呢？因为它的思维指向更直接而简单，用一句话来概括就是——以等式解方程的思维实质，就是在不改变等式平衡的前提下，通过加减乘除等方法，把未知数一边的已知数全部想办法去掉，最终留下的就是“未知数等于多少”的解。再用刚才的例子来说明。

８χ&pide;３＝2.4——新思维：在未知数χ所在的等式左边中，有3和8两个已知数，那么要解这个方程，就要想办法把未知数一边的已知数全部去掉，使经过复杂运算的未知数还原为本身，但又不能破坏等式的平衡。怎么办呢？要使一个数还原为自己原来的面目，那就要“加什么，减什么；乘什么，除什么”，而且根据等式的性质等式两边要同时进行才不会破坏等式的平衡。

于是，第一步仍然把要８χ当作一个整体，８χ除以３，要把它还原回来，就必须再乘以3。那就是８χ&pide;３×３＝2.4×３，得到８χ＝7.2。

以次类推，下一步就是要还原χ等于多少，那就要想办法把8去掉，怎么呢？“乘什么就除什么”，于是８χ&pide;8＝7.2&pide;8，最后，Ｘ＝0.9

总之，在借助等式性质来解方程的思维下，方程类似于一组天平，在等式的两边同时进行相同的运算，那么平衡就得到了维持。这就是等式的性质。而根据这个性质解方程，它的思维很简单，核心就是——在不改变等式平衡的前提下，把未知数所在一边等式的已知数想办法全部去掉，(做法无非就是加了什么就减去什么，乘了什么就除去什么，两边同时进行)。使经过复杂运算的未知数还原为本身，最后得出未知数等于多少的方程解。

而新旧两种解方程的方法到底要用哪种进行教学呢？很显然，第二种思维无需弄清那么多的数量关系，无需熟记诸如“被减数＝差＋减数，减数＝被减数－差，被除数＝商×除数，除数＝被除数&pide;商”等等运算公式。只要它认定一个目标，“把未知数一边的已知数全部想办法去掉”就行了。

但是，一些教师觉得新方法麻烦，不好用，看到一个长长的等式，担心学生不会算，于是还是用旧方法解方程。其实，说新方法麻烦此言差矣，新方法比起传统方法来说，也许步骤多了些，但思维更加简单，更容易为学生理解。问题就是有的老师没有抓住“等式思维解方程”的核心：去已知数。所以，本来更加简单的思维方法、解题思维，却被莫名其妙的复杂化了。

那么，为什么新课程要用这种方式来替代旧式解法呢？从教学上来说，是为了中、小学衔接；从培养目标来说，是为了新数学思维的培养。因此，我们在教学之前必须真正了解教材编排的意义所在，真正去挖掘教材，才能更好地使用教材。

作者单位：广西崇左市天等县民族小学