将算法思想渗透到底——算法教学中的体会

将算法思想渗透到底——算法教学中的体会

李芳

广西藤县藤州中学李芳

【摘要】新课标高中数学与旧教材相比部分内容变化，算法是一个新增的内容。笔者结合自己的教学实践谈谈对算法教学上的一些认识。

【关键词】算法思想；新课标；高中数学

【中图分类号】G220.46【文章标识码】D【文章编号】1326-3587（2014）02-0018-02

一、什么是算法思想

算法思想就是指按照一定的步骤，一步一步去解决某个问题的程序化思想。

二、算法思想的重要性

随着现代信息技术的飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。对于高中生来说，他们需要一些比较基础的计算机知识和数学知识，而且，计算机的理论虽源于数学,可是随着计算机技术的发展，数学研究和应用在很大程度上依赖于计算机的实现。

三、《算法初步》的教学背景

广西于2012年全面使用新教材，新课程不仅开设算法初步专题，而且从内容上把算法融入数学课程的各个相关部分.在高中数学课程中，解一元二次方程组、解二元线性方程组、解一元二次不等式、质数的判定、二分法、判定平面直角坐标系中直线与圆的位置关系、解三角形、求导数和定积分、建立线性回归方程等，都是算法的典型案例．由此可见，算法思想贯穿整个高中数学，算法的学习对整个高中数学的学习有着“源”与“流”的关系.

四、如何在教学中渗透算法思想

1、在问题解决中强化算法意识、提升算法思想。

算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点，同时又有抽象性、概括性和精确性.在教学时尽量根据问题解决情景培养算法思想，以真正提高学生思维能力.

【例1】已知椭圆的离心率为，试设计求的算法程序框图.

算法分析：信息“椭圆”意味着，离心率需定位方程中4和哪一个是.

可用条件结构表现“椭圆焦点在哪个坐标轴上”与“与4的大小”之间的依赖关系，即需判断与4的大小，并据此设计算法，程序框如图1.

2、波利亚的“怎样解题表”是数学问题解决的普适性算法。

按照波利亚的“怎样解题”表,解决数学问题的过程可以被分解为这样四个步骤：第一，弄清问题；第二，拟定计划；第三，实现计划；第四，回顾.就这四个步骤而言，波利亚指出：“最糟糕的情况是：学生并没有理解问题就进行演算或作图.一般说来，在尚未看到主要联系或者尚未作出某种计划的情况下，去处理细节是毫无用处的”.作为新课程的践行者，数学教师需认真研读波利亚的“怎样解题”.

【例2】已知常数a>0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a,O是AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图3、4），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

分析：首先，这个问题虽然不好下手，但从问题情境看，它不是代数问题、不是立体几何问题，肯定是解析几何问题；

其次，既然这是解析几何问题，那就应该在坐标系环境下求解，因此要建立恰当的坐标系；

第三，给出的图形太对称了，有助于建立坐标系，不妨如下图建系；

第四，建立坐标系的目的是什么呢？当然从问题情境看可以设置点A、B、C、D、E、F、G、、O的坐标（事实上只需设元引参：设=k，进而确定相关的点的坐标）；

第五，不妨回到问题中来：结论需要我们做什么呢？若存在两个定点使P到这两点的距离的和为定值的话，点P的轨迹不就是椭圆吗？因此问题的核心是求点P的轨迹方程;

第六，根据前面五点可知，只需建立直线OF和GE的方程，用交轨法解决即可.

应该看到解题思维过程中算法思想的影子.我们不妨用算法的框图来描述解决此问题的思维过程和逻辑关系如右.

事实上，上述框图2的前三步应该容易想到，并且有了前三步，想到第四步及以后的步骤就比较自然了.

3、算法思想也是思想实验。

【例3】试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积大小.

分析：要求用正三角形纸片剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，除了给出的标准答案外，其实还有一种更简单自然的方法（如图5、6）.这种做法应该更容易想到，所用知识更少.像这样的动手实践的问题，其实更需要学生在平时积累的直接经验，这也是新课程标准所强调的（即动手实践能力）.

而这一算法思想古人早就应用其解决实际问题。在《九章算术》中卷一“方田”第25题：今有圭田广十二步，正从二十一步，问为田几何？注文中的“以盈补虚”就是刘徽的“出入相补”法，在高考中从代数角度也进行了考查，如上海高考试题：已知函数的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是

A．4B．8C．2D．4

4、利用算法思想提高学生数学思维品质。

【例5】五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________.

解析：这是历史上著名的斐波那契数列.寻找规律是解决问题的根本，否则，费时费力.利用《算法初步》案例1的思想首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律，再求所求就比较简单了.

这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，即设第次报数、第次报数、第次报数分别为，，，则有，那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987……分别除以3得余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0……由此可见余数的变化规律是按1、1、2、0、2、2、1、0循环，周期是8.在一个周期内只有第四个数和第八个数都是3的倍数，五位同学依序循环报完100个数共经历12.5个周期，其中第4，8，12，16，…，，…，96，100个数是3的倍数，已知甲同学第一个报数，他报数的位置为1，6，…，，…，96.问题转化为当时有多少项是4的倍数，易知时是4的倍数，即甲同学拍手的总次数为5次.

5、利用算法思想提高学生问题解决能力。

算法是思维的条理化和逻辑化，其基本思想是程序化、按部就班.我们可以利用这一算法思想拟订解决具体数学问题的思维流程或解题步骤，帮助我们走出思维混乱、表述不清的困境.

6、算法思想本身就贯穿新课程教材。

在学习《算法初步》之前我们实际上已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程、不等式的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想。人教A版教材充分关注算法的思想方法渗透在高中数学课程其他有关内容中，在教材正文及小贴士、《思考》、《阅读与思考》、《信息技术应用》等栏目设计了大量利用算法解决相关问题的情景，如人教A版数学5第三章《不等式》中，第二单元《一元二次不都是的解法》正文(P78)用一个程序框图把求解一般一元二次不等式的过程表示出来，再要求学生在判断框和处理框中的空格填充相关内容（如图7），这能充分鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题。

【参考文献】

1、中华人民共和国教育部制定普通高中数学课程标准（实验）[M]北京：人民教育出版社2003

2、杨开山，《课标教材数学3中“算法初步”教学情况的调查研究》、《中学数学教学参考》（高中）2008年1-2月