研究数学新教材重视思想方法的渗透

研究数学新教材重视思想方法的渗透

宋守军

关键词：数学思想；函数思想；函数

作者简介：宋守军，任教于安徽省当涂一中。

我们知道：数学思想来源于数学基础知识和基本方法，又高于知识和方法，它是对基础知识和基本方法本质的概括，是其精神实质和理论根据，是创造性地发展数学的指导方针。自2000年秋开始在我省试用的新教材，充分注意到了数学思想对基础数学教育现代化的关键作用。新教材的编撰，较之于传统教材，明显地加强了对数学思想方法的渗透。

下面依据新大纲和新教材，谈谈自己学习数列这章内容后的几点体会。

一、教材顺序的调整密切了与函数的关系

高中数学新教材将数列与数学归纳法、极限分开，并从原来的高二提前到高一(上)来学习，属于必修内容，而将数学归纳法、极限与新增加的微积分初步知识一起列入高三限定的选修课内容，这样调整、安排教材内容是合理的。这是由于数列与函数之间存在着一定的联系，数列是特殊的函数，这样把数列安排在第二章函数之后来学习，就有利于用函数的观点来认识数列的本质，也有利于加深和巩固对函数概念的全面理解，丰富了学生所接触的函数概念的范围，以期达到对函数概念理解的螺旋式提高，所以，学习数列应体会改革者对教材顺序调整的良苦用心。

二、教学内容明确指出了数列的函数性

新教材在给出数列的概念时，先给出了一个描述性的定义，在此基础上又给出一个在映射、函数观点下的定义：“从映射，函数的观点看，数列可看作是一个定义域为正整数集N+（或它的有限子集{1，2……n}）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。”这样就明确地将数列与函数联系在了一起。请注意：加点部分是传统教材中所没有的，这种强调作用在新教材中多处可见。

另外，关于数列给出的两种方法（通项公式法、递推公式法），其中通项公式教材已明确指出它就是相应的函数解析式，这一点传统教材没有指明。点破了这一点，数列与函数的内在的联系就揭示的更清楚了。请不要小看这寥寥数语，它既强调了一种数学思想（函数思想），又回答了许多同学的疑问：为什么不是所有数列都有通项公式？这正如并非所有函数都有解析式一样，有通项公式的数列只是少数。而且这少许的精辟之言，还为函数思想的运用提供了理论上的准备。

比如复习参考题B组第2题：“已知数列的通项公式为an=n2-10n+10，这个数列从第几项起各项的数值逐渐增大？从第几项起各项的数值均为正数？数列中是否还存在数值与首项相同的项？”这就要求学生注意运用函数的思想，在整体的、动态的观点下思考本题。新教材安排的类似习题还有很多，这些无疑为学生“运用函数思想解决数列问题”提供了载体。

既然新教材在章节顺序和内容体系上都作了明确的说明，那么我们在使用和学习教材时，应充分注意用函数思想学习和理解数列的有关问题。

例1：当n∈N且n≥2时，求证：

分析：本题若用数学归纳法进行证明，不仅步骤繁难，凑配结合，还要证明(K≥2且K∈N），可谓题中套题，而如果使用数列的函数性，则有异曲同工，曲径通幽之妙。

解：设f（n）=则

f（n+1）－f（n）=

=

=

∴f（n+1）＞f（n），{f（n）}是单调递增函数.

∴当n∈N且n≥2时，有f（n）≥f（2）=

三、注意等差数列与一次、二次函数的联系

由于等差数列的通项公式an=a1+（n－1）d，可以变形为an=nd+（a1－d），从变形式中可以看出：当d≠0时，等差数列是关于n的一次函数。这样就很容易理解为什么等差数列的各点均匀分布在一条直线上，根据两点确定一条直线，也很容易理解为什么已知等差数列的任意两项，可确定一个等差数列。

同样道理，等差数列前n项Sn=na1+n（n－1）d，可以变形为

Sn=n2+（a1－）n，当d≠0时，Sn是关于n的常数项为0的二次函数。于是可以利用二次函数的观点和方法解决“求等差数列前n项的和”的有关问题。特别是求Sn的增减变化，最大(小)值问题时更要想到Sn的二次函数性。

例2：(1)一个首项为正数的等差数列，前5项之和与前13项之和相等，那么这个数列的前多少项之和最大？

分析：本题固然可以由a1＞0，S5=S13先得出d＜0，然后再试探性地求出a9＞0，a10＜0，从而得出S9最大。但如果能注意到在等差数列中，Sn是关于n的常数项为0的二次函数，这样，在讨论Sn的最值时，可用二次函数的最值方法去解决。

解：∵S5=S13，a1＞0∴d＜0

∵Sn=n2+（a1-）n

∴Sn是关于n的二次函数，且开口向下.

又S5=S13

∴Sn的对称轴是n==9

∴n=9时，S9最大.

(2)在等差数列{an}中已知Sm=n，Sn=m（m≠n），求Sm+n的值.

此题若是直接利用求和公式解方程组过程十分繁难。

另解：从公式Sn=na1+d入手

Sn=n2+（a1－）n∴Sn是关于n的二次函数的形式，

故可设Sn=An2+Bn（A、B为常数）

由题意知Am2+Bm=n①

An2+Bn=m②

由①－②A（m+n）（m－n）+B（m－n）=n－m

又m≠nA（m+n）+B＝-１

故Ｓm+n=A（m+n）2+B（m+n）=－m－n即Sm+n=―m―n

四、注意等比数列与指数型函数的联系

在等比数列中，通项公式an=a1qn-1=qn（a1≠0,q≠0）时，an是关于n的指数函数与非零常数的乘积，其前n项之和Sn=，

当q＞0且q≠0时，Sn最关于n的y=m·ax－m型的函数，因此，在解决等比数列的有关问题时，应注意结合指数函数的有关性质。

例3：首项为正数的等比数列{an}的前n项和为80，前2n项和为6560，且在前n项中数值最大的项为54，求此数的首项a1和公比q。

解：∵Sn≠S2n∴q≠1

Sn=①

∵

S2n=②

②&pide;①，得qn=81，代入①得a1=q－1③

∵a1＞0∴q＞1，所以数列{an}是递增数列，前n项中数值最大的项是an

∴an=54即a1qn-1=54

∴a1=2q=3

由于数列在整个高中数学教学内容中，处于数学知识和教学方法的汇合处，许多知识都与数列有着密切的联系，因此，本章蕴含着丰富的数学思想。新教材与传统教材相比，对数学思想方法的指向明确，方程与函数、分类讨论、化归与转化、数形结合等中学常用的数学思想方法在教材中得到了充分的归纳和展现。限于篇幅，本文不再对其他数学思想方法进行论述。

数学思想方法比形式化的数学知识更重要，社会各部门、各行业对数学知识要求的深度和广度的差异是很大的，但对人的素质的要求是共性的，即要求走向社会的人，具备严谨的工作态度，具有善于分析情况、归纳总结、综合比较、分类评析、逻辑论证、严密推理的科学方法和工作能力，这一切都是在数学思想方法的渗透、训练中得以培养的。

新教材的编写，已充分注意到了数学思想在实现数学教育现代化中的重要作用，对“让数学成为每个人生活的组成部分”的推动作用。因此，我们要重视结合新教材中的数学思想方法，为把我们的学生培养成走向社会后，能自觉地运用数学思想方法解决日常生活中的问题而做好扎实的工作。

参考文献：

[1]沈文选.中学数学思想方法[M].长沙：湖南师范大学出版，1999.

[2]徐四海.高中数学新教材第三章的学习体会[M].北京：中学数学教学参考，2000.

作者单位：安徽省当涂一中

邮政编码：243100

StudyingNewMathematicsTextbooksandStressingPenetrationofThoughtsMethods

SONGShoujun

Abstract:Themodernizationofmathematicseducationisnottoimplement“teachingformodernmathematics”,buttoimplement“modernteachinginmathematics”.Thatis,elementarymathematicseducationshouldbebasedonmodernmathematicsthoughts,applicationmethodsandlanguageofmodernmathematics.

Keywords:mathematicsthoughts;functionalthoughts;functions