一题多解开拓思路

一题多解开拓思路

郑绍明

郑绍明

摘要：一题多解是开拓思路、发展智力、提高能力的有效途径。本文结合具体的例题对一题多解的方法进行了分析。

关键词：一题多解；思路；方法

作者简介：郑绍明，任教于广西融安县高级中学。

思维的广阔性表现在思维的广度上，它有两个层次，一是能全面细致地多方面思考，不但能考虑问题本身，而且能善于考虑与问题有关的其它条件，从不同的角度考虑问题；二是对所研究的问题能抓住全貌和本质，形成一些有普遍意义的方法，迁移于较广的范围。笔者在教学中有选择地介绍几种典型的解法，并尽可能引导学生从多角度思考问题，由此开拓学生思路，巩固所学知识,并激发学生学习的积极性，以冲击思维的单一性，突破思维的局限性，以利于培养学生思维的广阔性。

数学是研究数与形的科学，尽管代数、几何、三角等各个章节都有自己的“数或形”的重点，但它们之间并没有不可逾越的鸿沟。大家常讲的所谓“一题多解”，正是指从数学知识的各种不同角度，运用不同的思维方法去解决同一个问题。因此“一题多解”所涉及的知识、方法、思想，较单一方法解题的面更广，方法更灵活。

题目：（高考变式题）α为三角形内角，若sinα+cosα=―，则tgα的值是（）。

A.－B.－C.D.

本题比较典型，其多种解法中，前几种属于课本内三角函数内容里的常见方法，后几种则是标准化试题的常用解法。通过对各种解法的运用，既加深了对有关知识的记忆和理解，又可使自己的发散思维受到一次训练。在复习时选练此题，效果良好。

解法一分析：应用平方关系消元后化条件式中的函数为同名函数，转化为一元二次方程求解。

由条件，α为钝角，否则sinα+cosα>0，

则sinα＝，代入sinα＋cosα＝―，得＋cosα＝－，

即25cos2α+5cosα－12＝0，

解之得cosα＝（舍去）cosα＝－，

于是sinα＝，tgα＝－，答案为B。

说明：此解法复习了同角三角函数的基本关系，过程虽较复杂，但思路清晰，步骤清楚，属最容易在直觉中产生的解法。方程转化过程中需要两边平方，这可能产生增根，必须验根。

解法二由sinα＋cosα＝－，两边平方得sin2α＝－，

∴1―sin2α=―∴有sinα－cosα＝，

与sinα＋cosα＝－联立解得sinα＝、cosα＝－，

∴tgα＝－。

说明：对sinαcosα＝a(1)，常用的变形方式之一是两边平方（见解法二、三、六），然后可求得sinαcosα的值（（解法二）或sin2α的值（解法三、六），再进一步求解。

解法三分析同上，求出sin2α的值后由万能公式求解。

同法二有sin2α＝－＝，解得tgα＝－或－，

当tgα＝－时，sinα＝，cosα＝－，

此时sinα＋cosα＝，与条件矛盾，∴tgα＝－。答B。

解法四分析：由万能公式化条件中的函数为同名函数，由此求得tg,再求tgα。

同解法一，有α∈(π/2,π),令tg＝t,则原条件即+=―，

即2t2―5t－3=0,解得t1=3,t2=－1/2（∵α/2是锐角，∴t2=－1/2舍去）

又由tgα＝==―知，答案为B。

解法五利用同角三角函数的基本关系式化为同名函数，通过解方程得结果。

同解法一有α∈(π/2,π),

sinα＋cosα＝―可变为+=―

即12tg2α＋25tgα＋12＝0,解之得tgα＝―或－

经检验tgα＝―，答B。

说明：公式sinα=,cosα=是同名三角函数基本关系的变形式（或称二级公式），同样很重要，也很常用，必须熟记。

解法六由解法二有sin2α＝－，于是cos2α＝

（显然由π<2α<2π尚不能确定cos2α的具体符号，以下寻找更强的定号条件）

由sinα＋cosα＝sin（α＋）＝―<0有α+>π,α>，

∴π<2α<2π,∴cos2α＝－，∴tgα＝＝―。

说明：1、此解法中必须寻找更强的定号条件来确定一个三角函数值（cos2α）的具体符号，这在课本内外的许多题目中都会遇到；2、sinαcosα的常见变形方法之二是用公式asinα＋bcosα＝sin（α＋φ）变为sinαcosα＝sin（α）。

以上解法皆为直接法，由于这是一道单元选择题，我们还可以用标准化试题所特有的下述简便方法得到结果。

解法七（变形条件，求出结果所在区间）

由解法六<α<π,

∵y=tgx在（，π）上递增，∴有tg<tgα<0,即－1<tgα<0

对照四个选项知，答案为B。

解法八（分析同解法七）

由法一知α∈(,又由sinα＋cosα＝―有tgα＝－（1＋

∵-1<cosα<0∴1+<1∴tgα＝－（1＋）∈(―1,1)

故选B。

解法九（筛选与逆推法并用）

由法一知α为钝角，∴tgα<0,∴C、D不对

设tgα＝－,∵tgα=∴令sinα＝4t，cosα＝－3t（t>0）

则由sinα＋cosα＝4t－3t＝t＝―<0,与t>0矛盾,∴tgα＝―。

解法十（综合分析法）

同法九，C、D错，观查A、B选项知，只须判断│sinα│、│cosα│的大小便可得到结果，而由sinα＋cosα＝―知，│sinα│<│cosα│.

即只能是tgα＝＝―，故选D。

观察、分析和联想能力在解题能力中占有很重要的地位，观察已知条件中的数、式、形，对选择题还应观察选项（与条件的联系），联想有关的公式、定理、定义、性质、常见变形方法与常用解题思路等。如本题解法七、八、九、十，正是通过对条件、结论的观察、联想和分析而找到了简便的解法。

本题的解决首先必须对角α的范围进行讨论，这充分体现了“函数问题，范围先行（尤其是三角函数问题）”的解题基本原则，这是我们在学习函数内容时首先要建立的意识。

以上运用一题多解给出了该题的十种解法，并借此复习了同角三角函数的关系，倍、半角公式、万能公式及一些基本解题方法等。在数学复习课中选练这类题目，可把所学知识与方法有机地串联起来，不失为一种好的学习方法。

作者单位：广西融安县高级中学

邮政编码：545400

OfferingSolutionstoOneQuestionandBroadeningStudents’Vision

ZHENGShaoming

Abstract:Offeringsolutionstoonequestionisaneffectivewaytobroadstudents’vision,developtheirintelligenceandimprovetheirability.Thispaperanalyzesmethodstogivemanysolutionstoonequestionbasedonspecificexamples.

Keywords:givenmanysolutionstoonequestion;vision;methods