2015高考数学全国课标（II）文17题另外几种解法

2015高考数学全国课标（II）文17题另外几种解法

司政君

甘肃省陇南市武都区两水中学746010

一、试题及原解再现

1.题目△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC。

（1）求。

（2）若∠BAC=60°,求∠A。

2.评分标准所给参考答案：

解（1）由正弦定理得=，=,因为AD平分∠BAC,BD=2DC,所以==。

（2）因为∠C=180°-（∠BAC+∠B）,∠BAC=60°,所以sin=∠C=sin（∠BAC+∠B）=cos∠B+sin∠B。

由（1）知2sin∠B=sin∠C，所以tan∠B=，即∠B=30°。

二、试题的另外解法

1.解法一

解法分析：因为第（1）题是求，在△ABC中，由正弦定理得＝，运用三角面积公式S△=bcsinA=casinB=absinＣ，结合已知由△ACD，△ABD的面积比得的值；对于第（2）题，运用余弦定理求解。

解：（1）因为AD平分∠BAC，所以sin∠BAD=sin∠CAD，

又∠BDA+∠CDA=π，所以sin∠CDA=sin∠BDA，

又S△ACD=AC·ADsin∠CAD=DC·ADsin∠CDA，S△ABD=AB·ADsin∠BAD=BC·ADsin∠BDA，所以＝。

又BD=2DC，所以AB=2AC。

在△ABC中，由正弦定理，得：＝＝。

（2）因为BD=2DC，由（1）知AB=2AC，

所以由余弦定理得：

BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC，

9DC2=4AC2+AC2-2·2AC·ACcos60°，

9DC2=3AC2，

3DC2=3AC，

所以由余弦定理得：

cosB=

=

==，

又B∈（0，π），所以B=30°。

2.解法二

解法分析：第（1）题分别在△ABC中，作BC的高线，在△ABD中，作AB的高线，在△ACD中，作AC的高线，结合已知条件，利用三角形面积和锐角三角函数定义求解；第（2）题运用转化思想，在△ABC中，作AB的高线转化为直角三角形求解。

解（1）在△ABC中，作BC的高线AG，在△ABD中，作AB的高线DE，在△ACD中，作AC的高线DF，

由AD平分∠BAC得：DE=DF，

又S△ABD=AC·DF=DC·AG,S△ABD=AB·DE=BC·AG,所以＝。

又BD=2DC，所以AB=2AC。

在△ABG中，sinB=，在△ACG中，sinC=,所以＝=。

（2）在△ABC中，作AB的高线CH。

因为∠BAC=60°，

所以AH=AC，HC=AC，

由（1）知AB=2AC，

所以BH=AB-AH，

=2AC-AC=AC，

所以，在△BCH中，tanB==，

又B∈（0，π），所以B=30°。

3.解法三

解法分析：第（1）题同解法一或解法二；第（2）题运用转化思想，在△ABC中，已知∠BAC=60°，又由（1）知AB=2AC，故取AB的中点E，连接CE即可运用等腰三角形及三角形内角和定理等知识求解。

解（1）同解法一或解法二。

（2）取AB的中点E，连接CE。

由（1）知AB=2AC，所以AE=AC，因为∠BAC=60°，所以△AEC是等边三角形，所以∠AEC=60°，EC=AE=EB，所以B=30°。

4.解法四

解法分析：第（1）题同解法一或解法二；第（2）题运用转化思想，在△ABC中，已知∠BAC=60°，又由（1）知AB=2AC，故AC延长至M，使CM=AC，连接BM即可运用等边三角形知识求解。

解（1）同解法一或解法二。

（2）延长AC至M，使CM=AC，连接BM。

由（1）知AB=2AC，所以AB=AM，因为∠BAC=60°，所以△ABM是等边三角形，所以∠ABM=60，所以B=30°。

三、结语

二中的这些解法，基本上抛开命题意图，从另外角度来完成试题的求解；教学中，对解三角形试（习）题，尝试从不同角度探寻解决策略，可打破思维定势，有助于培养学生思维的灵活性及解题能力的提高。