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【摘要】本文通过对二重积分解题步骤的介绍，引入了穿线法，并通过实例介绍了穿线法在二重积分化为累次积分时，在确定积分次序以及积分限时候具体的使用方法以及可推广性。
【关键词】二重积分累次积分穿线法
【中图分类号】G642【文献标识码】A【文章编号】1674－4810（2010）09－0063－01
二重积分的常规的解法将二重积分化为累次积分，求解二重积分就必须先确定积分次序以及积分上下限，将二重积分化为累次积分后才能用定积分的公式，而累次积分的积分次序以及先积分变量的积分上下限的确定是大多数学生很难掌握和理解的。在此向大家介绍用划线法轻松将二重积分化为累次积分除了先积分变量的积分上下限。
所谓划线法，即在画出积分区域的图形后，在积分区域内做一条条平行于x轴的直线，将该直线平行于x轴上下移动，如果该直线与积分区域D的左（右）交点始终在同一条曲线上，则选择先对x积分积分区域不分块，可以减少计算量，可以选择先对x积分，否则积分区域分块对x积分会增加难度，同时左（右）交点所在的曲线为积分下（上）限。如果选择先对x积分积分区域要分块，则可在积分区域内任意画条平行于y轴的直线，将该直线平行于y轴左右移动，如果该直线与积分区域D的上（下）交点始终在同一条曲线上，则选择先对y积分积分区域不分块，可以选择先对y积分，同时直线与区域D的下（上）交点所在的曲线为积分下（上）限。下面通过几个实例来介绍穿线法的实际应用：
例1，计算二重积分，其中积分区域D是由直线x＝2，y＝x以及双曲线xy＝1围成的图形。
分析：画出积分区域的草图，如图1所示，由被积函数及积分区域D的图形确定该二重积分在直角坐标系下积分较为容易。
如果先对x积分，就要计算两个累次积分，计算量大，很容易出错。
例2，计算二重积分其中积分区域D是由y2＝x以及直线y＝x－2围成。
分析：画出积分区域的草图，如图2所示，我们画两条平行于x，y轴的直线，将平行于y轴的直线左右平移后发现该直线与积分区域D的下交点所在的曲线发生改变，由在直线y＝x－2到曲线y2＝x上，而平行于x轴的直线在上下平移时与积分区域D的两个左（右）交点始终在同一条曲线上，因此我们选择先对x积分，积分上下限为右（左）交点所在的曲线y＝x－2（y2＝x），将x反解出来有x＝y＋2，x＝y2，后积分的y的积分上下限为D的上（下）端点处的纵坐标值。
求出各交点坐标为（1，－1）（4，2），则有：
通过以上两个例题我们可以看出划线法在将二重积分化为累次积分的过程中，简单实用，方法容易掌握，使得让学生头疼的二重积分化累次积分变得非常容易，从而大大降低了二重积分的解题难度。
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