对中学数学解题通法的实践研究

对中学数学解题通法的实践研究

刘宏俊

刘宏俊江苏省海安县立发中学

通法是指具有某种规律性和普遍意义的常规解题模式和常用的数学解题方法。在中学数学中常用的数学解题通法有换元法、配方法、待定系数法、参数法、消元法、特殊值法。透过这些方法体会数学思想，包括：转化思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等。近几年高考数学试题坚持新题不难、难题不怪的命题方向，强调“注意通性通法，淡化特殊技巧”。有一定难度的题，一般用的都是最常规的性质、方法。下面分别就数列、三角函数、导数等计算题中必考问题的常见题型的通法做以下研究。

一求数列通项公式的通法举例

数列在高考数学试卷中占有重要的地位，它的命题也开始与函数、方程、不等式等知识联系，不管命题形式如何变化，解决数列问题的前提多是确定通项公式，即便是在新课程背景下也是万变不离其宗，这就使得数列通项公式的求解方法显得特别重要。下面仅从近两年高考有关求数列通项公式问题列举，谈谈求数列通项公式三种重要的通法的应用。

数列通项公式的求解方法有很多，如观察法、累加法、累乘法、待定系数法、递推公式法、归纳猜想法、由Sn确定an的等式法等，这些都可纳入以下三种通法的范畴：（1）归纳猜想法；（2）构造新数列法；（3）迭代法。

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二求弦类函数的值域的通法举例

在历届高考数学试题中经常有三角函数类的值域的问题，其中弦类函数的值域的问题是考的频率比较高的问题。下面系统归纳关于弦类函数的值域求法。到目前为止，高考中出现的弦类函数的值域问题有以下四种结构（本文所提到的弦类函数结构都是指经三角变换和化简后的最简结构）：弦类一次函数；弦类二次函数；同名弦类一次分式函数和异名弦类一次分式函数。下面针对弦类不同结构的函数的值域求法系统地加以归纳（注：只列举正弦函数）。

1．弦类一次函数

函数表达式：y＝Asin（ωx＋φ）＋B（A≠0）值域求法：根据正弦函数的有界性，易知其值域为［－A＋B，A＋B］。

如2009年山东设函数。

（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；

（2）设A、B、C为△ABC的三个内角，若，且C为锐角，求sinA。

4这道题的第一问是将cos（2x+π）展开，sin2x降次，再重新

3组合成y＝Asin（ωx＋φ）的模式即可求出最大值及最小正周期。

2．弦类二次函数

函数表达式：y＝asin2x＋bsinx＋c（a≠0）值域求法：令t＝sinx，把函数转化为关于t的二次函数在区间［－1，1］内的值域问题。

如y＝cos2x＋2psinx＋q有最大值9和最小值6，求实数p，q的值。

这道题先令sinx＝t，t∈［－1，1］，则y＝－（t－p）2＋p2

＋q＋1对称轴为t＝p，再利用动函数定区间的方法讨论即可求解。

3．异名弦类一次分式函数

函数表达式：如y=sinx值域求法：将分母乘过去，等cosx+2式整理为2y＝sinx－ycosx即2y=y2+1sin（x+.），再根据sin（x＋φ）的有界性得到－1≤y22y+1≤1，解出值域。当然它也有局限性，就是要注意定义域是否为R。

三利用导数证明不等式的通法举例

利用导数证明不等式是高考中的一个热点问题，利用导数证明不等式主要有两种通法，即函数类不等式证明和常数类不等式证明。下面就有关的两种通法用列举的方式归纳和总结。

1．函数类不等式证明

函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式f（x）＞g（x）（f（x）＜g（x）］的问题转化为证明f（x）－g（x）＞0［f（x）－g（x）＜0），进而构造辅助函数h（x）＝f（x）－g（x），然后利用导数证明函数h（x）的单调性或证明函数h（x）的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。

例如，已知x∈（0，π），求证：sinx＜x＜tanx。

分析：欲证sinx＜x＜tanx，只需证函数f（x）＝sinx－x和g（x）＝x－tanx在（0，π2）上单调递减即可。此为构造函数的方法。

2．常数类不等式证明

常数类不等式证明的通法可概括为：证明常数类不等式的问题等价转化为证明f（a）＜f（b）的问题，再根据a，b的不等式关系和函数f（x）的单调性证明不等式。

例如：求证：。

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评注：利用导数证明常数类不等式的关键是经过适当的变形，将不等式证明的问题转化为函数单调性证明问题，其中关键是构造辅助函数，如何构造辅助函数也是这种通法运用的难点和关键所在。通过本例，不难发现，构造辅助函数关键在于不等式转化为左右两边是相同结构的式子。

教师们在一定程度上虽然知道“通法”的含义。但在平常的教育教学中可能运用的还不够，甚至有的只是就题论题，缺少必要的拓展、总结、升华。其实数学思想方法融会在每一道数学题中，做题时要做有心人，要体会其中的转化思想、分类思想、方

程函数思想、数形结合思想等。同时，也要认识到，这些数学思想不是孤立存在的，而是互相渗透的，有意地去体会并运用这些数学思想，才能抓住解题的核心和本质，“站得高，才能看得远”，才会起到事半功倍的作用。而高考的宗旨是考查高中数学的基础

知识、基本技能、基本思想和方法。因此，充分体会通性通法在解题中的作用，系统掌握知识间的内在联系就显得尤为重要。要加强对各章节知识点的梳理，灵活运用，熟练掌握通性通法，舍弃偏、难、怪习题，淡化特殊技巧。尽管每年会出现一些题型新颖的客观题，但无不是课本上的通性通法。所以要处理好“通法”和“巧法”的关系，在复习中不应过分追求特殊方法、技巧，不必将力气花在钻难题、怪题中。