关键词:数学;思想方法;重要性
作者简介:张宇,任教于贵州省遵义县新舟中学。
数学观察能力是一种有目的、有选择并伴有注意的、对数学材料的知觉能力或初步加工能力。具体表现为:在掌握教学概念时,善于舍弃非本质特征,抓住本质特征的能力;在学习数学知识时,善于发现知识的内在联系,形成知识结构或体系的能力;在学习数学原理时,能从数学事实或现象展现中掌握数学法则或规律的能力;在解决数学问题时,善于识别问题的特征,发现隐含条件,正确选择解题途径和数学模型的能力,以及解题的辨析能力。下面谈谈笔者在高中数学教学中的几点体会。
“符号形式化、概括公式化、数量精确化”等是数学学科的基本特点。把研究的问题形式化、把问题的内在含义用数学算式表达出来、通过推理论证及运算得出准确的结论,是用数学方式解决问题的、也是数学教学工作的基本途径。
知识是思想方法的载体,传授书本知识是最基本的教学要求,沉溺于题海的作法是得不偿失的。掌握数学语言和数学的表达,思维的逻辑、灵活、缜密和准确等,是数学素养的表现。数学学习在于掌握书本知识,更在于养成数学的思维习惯。
认知是“特殊——一般——特殊”周而往复的过程,对数学的认知同样如此。高中数学教材很多情况下采取的“特殊事例——一般规律——例题习题”的编写方式,要求学生通过知识点“定义、定理、例题、习题”的学习来探寻、总结、验证具有普遍意义的结论,这种作法符合认知规律,是思想方法教学工作的必由之路。
要客观对待技巧问题,“拆补、配方、换元”等具体的技术手段、虽然是数学的方法,但上升不到思想的高度,过分强调具体的方法会陷入技巧的泥潭。“巧”建立在扎实的基础知识之上,表现于活跃的思想和丰富多样的方法,不可片面、空洞地追求技巧,“小技巧、大思想”应成为教学工作的一条基本原则。
一、多角度地观察、培养学生观察的全面性
数学中的图形、式子等是多种多样、错综复杂的,而观察是有目的、有选择的一种认识过程。观察者必须细致地对数学对象进行全面搜索和思考,从复杂的图形或式子中抓住主要特征,并根据目的需要适当地变换角度以达到解决问题的目的。
例如:已知x,y为实数,且x2-2xy+2y2-2=0,求x+y的取值范围。
观察1:看作关于x的二次方程(y视作参数),变形为:x2-(2y)x+(2y2-2)=0,于是有△=(2y)2-4(2y2-2)≥0;
观察2:看作关于y的二次方程(x视作参数),变形为:2y2-(2x)y+(x2-2)=O,于是△=(2x)2-4×2(x2-2)≥0;
观察3:将原式变形为:(x-y)2+y2=2,于是y2≤2且(x-y)2≤2。
教学中,教师要引导学生全面地考查观察对象,并从不同的角度进行思考和分析,让学生通过观察,能在较复杂的图形和关系中全面反映事物的某种属性,也能指出在某种特定的条件下事物的特殊性质,从而培养学生观察的全面性。
二、多层次地观察,培养学生观察的深刻性
数学问题是抽象的、复杂的。观察者必须透过表面现象,抓住事物的本质进行观察。在数学解题教学中,教师要引导学生不仅审题时要观察,整个过程也要观察,甚至解答后还得观察,让学生学会多层次地观察问题。
实践表明,在教学中,教师应有意识地引导学生进行多层次观察。这样不仅可以激发学生的学习欲望,调动学生学习的积极性,更可以培养学生有条理、全面、精确、概括地观察问题能力和培养学生观察的深刻性。
三、讲求教学方法
数学是一门用来描述“数量关系、空间形式”的语言,相形之下、其它任何语言的达意程度都是有限的,甚至是苍白无力的,必须注重学生数学语言能力的培养。语言训练包括“听、说、读、写、译”五个方面,传统教学工作的问题在于教师讲的过多,学生“听”的过多,其它训练相对较少。“多讲”省时且信息量大,学生也较为省力,但由于学生处于被动接受的状态,教学的直接效果往往是印象不深刻、理解不到位;其它训练可能费时费力,却有益于学生的能力养成,二者应有机地结合。在时间允许的情况下,学生能作的事情教师就不要包办代替,尽可能多地给学生“说、读、写、译”的机会,教学方法的改进在于此,落实学生的主体地位在于此,学生的能力培养也在于此。
能力伴随知识的丰富而不断提高、能力提高是加速知识积累的过程。没有一定量的、扎实的基础知识,便不会总结出行之有效的学习方法,从而失去“加速”的前提条件。“从基本概念作起——从数学语言的训练入手——从数学学科的基本特点出发——挖掘、展现知识的发生发现的过程——恰当地选择习题、课题并适当地让学生动手实践”,不失为一条培养学生数学能力的有效途径。
四、以直觉思维方法为指导,培养学生观察的敏捷性
例如:观察幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x1/2,y=x1/3,在同一坐标系内的图象,得出y=xn,(n>0)的性质。
观察1:从图中分布观察,第I象限都有图象、第II、III象限可能有图象,而第IV象限没有图象(为什么?引导学生思考);若第I、II象限有图象时,图象关于y轴对称;若第I、III象限有图象时,图象关于原点对称。
观察2:从图象特征观察,图象都过点(0,0),(1,1);第I象限内都是上升的曲线。
观察3:从图象的变化趋势观察,随幂指数n的增大,在第I象限内曲线逐渐偏离x轴而趋向y轴。
五、在反思中深化新知
古人云:“学贵有疑”。学习不主动、不反思,就很难获得深入学习的能力与求异、创新的品质。教师应引导学生从新的角度,多层次、多侧面地对问题及解决问题的思维过程进行全面分析与思考,从而深化对问题的理解,揭示问题的本质,探索一般规律,进而产生新的发现,同时也有助于优化学生的思维品质,提升学生的数学能力。
笔者十分重视课堂上反思、课后反思、单元小结反思,以及试卷测试后的反思。课堂上反思包括:问题解决的切入点与困惑;问题解决的数学思想方法;问题解决方法的多样化;对问题的变式研究等。课后反思当天的学习收获,以数学日记的形式见证自己的学习历程。由于新教材的知识编排呈螺旋式,学生在某一阶段对某一内容的学习无法深入,学不透彻。这不利于相应认知结构的构建。因此,笔者就学生对每一单元的知识进行阶段性小结,包括知识框架以及例题赏析。对于试卷讲解课,笔者大胆尝试,“还课”给学生,一改“由教师从头说到尾”的传统讲解课,由学生讲解,分为“知识点回顾”,“试卷题目归类”,“你知道我错在哪里吗?”,“我还找到的同类题目”四个环节进行。并且还很好地培养了学生的语言表达能力和知识归纳整理能力。
教师是学生数学活动的组织者,引导者与合作者。教师要积极利用各种教学资源,创造性地使用教材,设计适合学生发展的教学过程。只有在数学课堂中真正实现了“体验、尝试、反思”的和谐统一,才可以使学生在知识的发生和发展中领会数学的真谛,让学生从事有意义的数学活动,激发其好奇心,让学生获得发展。这正是当今数学教学努力追求的较高境界。
作者单位:贵州省遵义县新舟中学
邮政编码:563127
OntheImportanceofMathematicalThoughtsMethodsUsedinSolvingProblems
ZhangYu
Abstract:Mathematicalthoughtsmethodsarerationalcognitionofmathematicallaws.Teachersshouldtrytoputmathematicalthoughtsmethodsintoeachpartofmathematicalteachingsothatstudentscanacquiresubstantialunderstandingofmathematicalknowledgeandmethods,thustoimprovestudents’problem-solvingability.
Keywords:mathematics;thoughtsmethods;importance