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摘要:数学归纳法是数学上一种非常重要的证明方法,在证明与正整数n相关的命题时有着相当大的作用。本文列举了数学归纳法在高中数学中证明不等式、恒等式、整除、几何命题等方面的应用。
关键词:数学归纳法不等式几何
数学归纳法是高中数学学习中的一个重要的知识点,也是一个难点,很多学生认为应用数学归纳法解题非常繁琐,但是我们需要正确地认识到它在解决与正整数有关的恒等式、不等式、整除、几何等问题上起着至关重要的作用。
数学归纳法:设P(n)是关于正整数n的一个命题,如果下面两个条件成立:
1.当n=1时,P(n)成立。
2.假设当n=k(K∈N*)时,P(n)成立,可以推出P(n+1)成立。
那么对于n∈N*,P(n)都成立。
一、应用数学归纳法证明不等式
数学归纳法在证明不等式成立时,难点在于如何证明从假设n=k不等式成立到推出n=k+1不等式成立,此时可以运用放缩法、比较法、综合法等多种方法和技巧来突破这个难点。
例1,证明不等式:1+++…+<2-(n∈N*,n≥2)。
证明:①当n=2时,左边==右边,不等式成立。
②假设n=k(k≥2)时,1+++…+<2-成立,当n=k+1时,有1+++…++<2-+=2-
=2-<2-=2-,不等式成立。
由①、②可得,对n≥2(n∈N*),原不等式成立。
解题思路:该题是利用放缩的方法,的分子减1,这一项缩小,2减掉小的项,整体放大。
二、应用数学归纳法证明恒等式
数学归纳法可以用于证明与正整数有关的代数恒等式、组合恒等式、三角恒等式等恒等式。一般的证明步骤是由等式中较为复杂的一项向另一项进行推导,或者寻找一个中间项,等式两边都往中间项进行转化。
例2,证明下列式子成立:
+++…+=。
证明:①当n=1时,左边====右边,等式成立。
②假设n=K(K≥1)时,+++…+=成立,当n=k+1时,有+++…++
=+==
=
由①、②可得,对n≥1(n∈N*)原等式成立。
解题思路:利用归纳假设将非常繁杂的一项转化到只剩下两项,进行通分后得到,观察分子可知分子可进行因式分解为(2k+1)(k+1)。
三、应用数学归纳法证明整除问题
若a能被b整除,则a的倍数ma也能被b整除;若a、b都能被c整除,则ma±nb都能被c整除。利用数学归纳法证明整除问题难点在于假设f(k)成立之后,如何将f(k+1)进行变形,变为f(k+1)=g(k)f(k)+h(k),其中要证明h(k)能被整除。
例3,证明f(n)=5n+2·3n-1+1能被8整除(n∈N*)。
证明:①n=1时,f(1)=5+2·30+1=8,f(1)能被8整除。
②假设n=k(k≥1)时,f(k)=5k+2·3k-1+1能被8整除,当n=k+1时,f(k+1)=5k+1+2·3k+1=5·5k+6·3k-1+1+4·3k-1-4·3k-1+4-4=5(5k+2·3k-1+1)-4(3k-1-1)。
由假设可得5(5k+2·3k-1+1)能被8整除,3k-1为奇数,那么3k-1-1为偶数,4(3k-1-1)是8的倍数,能被8整除。因此,f(k+1)能被8整除。
由①、②可得,对n∈N*,f(n)=5n+2.3n-1+1能被8整除。
四、应用数学归纳法证明几何问题
数学归纳法在证明与正整数相关的几何问题上应用广泛,但它有局限性,先有一个已知的命题,运用数学归纳法证明已知命题的正确性,而不能用于发现命题。
例4,证明凸n边形的对角线条数为f(n)=(n≥3)。
证明:①当n=3时,因为三角形没有对角线,所以f(3)==0成立。
②假设n=k(k≥3)时,f(k)=成立,当n=k+1时,凸k边形(设顶点分别为A1,A2,…,Ak)增加一个顶点Ak+1变成凸k+1边形,由于顶点Ak+1与它不相邻k-2个顶点可以连出k-2条对角线,且原来的A1Ak边变成一条对角线,因此,f(k+1)=f(k)+k-1=+k-1==,命题成立。
由①、②可得,对n≥3,凸n边形的对角线条数为f(n)=。
参考文献
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[2]罗栋林数学归纳法在中学数学中的应用[J].昭通学院学报,1997,(2):77-84。
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