数学归纳法在高中数学学习中的应用

数学归纳法在高中数学学习中的应用

蔡丹颖

华南师范大学广东广州510631

摘要：数学归纳法是数学上一种非常重要的证明方法，在证明与正整数n相关的命题时有着相当大的作用。本文列举了数学归纳法在高中数学中证明不等式、恒等式、整除、几何命题等方面的应用。

关键词：数学归纳法不等式几何

数学归纳法是高中数学学习中的一个重要的知识点，也是一个难点，很多学生认为应用数学归纳法解题非常繁琐，但是我们需要正确地认识到它在解决与正整数有关的恒等式、不等式、整除、几何等问题上起着至关重要的作用。

数学归纳法：设P(n)是关于正整数n的一个命题，如果下面两个条件成立：

1.当n=1时，P(n)成立。

2.假设当n=k(K∈N*)时，P(n)成立，可以推出P(n+1)成立。

那么对于n∈N*，P(n)都成立。

一、应用数学归纳法证明不等式

数学归纳法在证明不等式成立时，难点在于如何证明从假设n=k不等式成立到推出n=k+1不等式成立，此时可以运用放缩法、比较法、综合法等多种方法和技巧来突破这个难点。

例1，证明不等式：1+++…+<2-（n∈N*,n≥2）。

证明：①当n=2时，左边==右边，不等式成立。

②假设n=k(k≥2)时，1+++…+<2-成立，当n=k+1时，有1+++…++<2-+=2-

=2-<2-=2-，不等式成立。

由①、②可得，对n≥2（n∈N*），原不等式成立。

解题思路：该题是利用放缩的方法，的分子减1，这一项缩小，2减掉小的项，整体放大。

二、应用数学归纳法证明恒等式

数学归纳法可以用于证明与正整数有关的代数恒等式、组合恒等式、三角恒等式等恒等式。一般的证明步骤是由等式中较为复杂的一项向另一项进行推导，或者寻找一个中间项，等式两边都往中间项进行转化。

例2，证明下列式子成立：

＋＋＋…+＝。

证明：①当n=1时，左边====右边，等式成立。

②假设n=K（K≥1）时，＋＋＋…＋＝成立，当n=k+1时，有+++…+＋

=＋＝＝

＝

由①、②可得，对n≥1(n∈N*)原等式成立。

解题思路：利用归纳假设将非常繁杂的一项转化到只剩下两项，进行通分后得到，观察分子可知分子可进行因式分解为(2k+1)(k+1)。

三、应用数学归纳法证明整除问题

若a能被b整除，则a的倍数ma也能被b整除；若a、b都能被c整除，则ma±nb都能被c整除。利用数学归纳法证明整除问题难点在于假设f(k)成立之后，如何将f(k+1)进行变形，变为f（k+1）=g（k）f（k）+h（k），其中要证明h(k)能被整除。

例3，证明f(n)=5n+2·3n-1+1能被8整除(n∈N*)。

证明：①n=1时，f(1)=5+2·30+1=8，f(1)能被8整除。

②假设n=k（k≥1）时，f(k)=5k+2·3k-1+1能被8整除，当n=k+1时，f(k+1)=5k+1+2·3k+1=5·5k+6·3k-1+1+4·3k-1-4·3k-1+4-4=5(5k+2·3k-1+1)-4(3k-1-1)。

由假设可得5(5k+2·3k-1+1)能被8整除，3k-1为奇数，那么3k-1-1为偶数，4(3k-1-1)是8的倍数，能被8整除。因此，f(k+1)能被8整除。

由①、②可得，对n∈N*，f(n)=5n+2.3n-1+1能被8整除。

四、应用数学归纳法证明几何问题

数学归纳法在证明与正整数相关的几何问题上应用广泛，但它有局限性，先有一个已知的命题，运用数学归纳法证明已知命题的正确性，而不能用于发现命题。

例4，证明凸n边形的对角线条数为f(n)=(n≥3)。

证明：①当n=3时，因为三角形没有对角线，所以f(3)=＝0成立。

②假设n=k(k≥3)时，f(k)=成立，当n=k+1时，凸k边形（设顶点分别为A1,A2,…,Ak）增加一个顶点Ak+1变成凸k+1边形，由于顶点Ak+1与它不相邻k-2个顶点可以连出k-2条对角线,且原来的A1Ak边变成一条对角线,因此，f(k+1)=f(k)+k-1=+k-1=＝，命题成立。

由①、②可得，对n≥3，凸n边形的对角线条数为f(n)=。

参考文献

[1]张先达数学归纳法在中学数学中的应用[J].经济研究导刊,2011，（14）：304-305。

[2]罗栋林数学归纳法在中学数学中的应用[J].昭通学院学报,1997，（2）：77-84。

[3]王祥林浅谈用数学归纳法证明不等式[J].天水师范学院学报,1989，（2）：57-61。