活用特殊元素、特殊位置法解题

活用特殊元素、特殊位置法解题

高立群（富平县立诚中学，陕西渭南711711）

活用特殊元素、特殊位置法解题

高立群

（富平县立诚中学，陕西渭南711711）

求排列数可以按依次填m个空位来考虑：假定有排好顺序的m个空位，从n个不同元素a1，a2，…，an中任意取m个去填空，一个空位填1个元素，每一种填法对应一个排列，所有不同填法的种数就是排列数。这里有两个对象：元素、位置。在排列组合实际问题中，理出元素、位置两个对象，应用两个基本原理，引入一些方法，就可以灵活地、简捷地解决问题。

例1：从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同选择方案共有（）种。

A．300B．240C．144D．96

分析：把6个人看作6个不同的元素，把四个城市看作依次排好顺序的四个不同的空位，如图1，第一位巴黎，受条件限制，甲、乙两元素受条件限制。

从特殊元素甲、乙是否入选入手。

解法1：（分类计数原理）

（1）不选甲、乙，

（2）只选甲，先填甲，有种，再从除甲、乙外的四个元素中选3个，填在剩下的3个空位中，有种，则

（3）只选乙，

（4）选甲、乙，先填甲乙有种，再填剩下2个空位，有种，则

所以N＝N1+N2+N3+N4＝240

解法2：（间接法）

＝240

从特殊位置入手：

解法3：（分步计数原理）

第一步：先从除甲、乙外的四个元素中选1个，填第一位，有种；

第二步：再填后三位，有种

∴N＝＝240

评：当位置受到条件限制时，必有元素受到条件限制，特殊元素、特殊位置是同时存在的。实际问题中的元素、位置可能对应排列数定义中的位置、元素，如解法1中（4）从3个空位中选2个空位，供甲、乙元素填，为等。

例2：用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的数。

（1）能组成多少个六位奇数？（2）能组成多少个能被5整除的六位数？

分析：（1）首位、末位受到条件限制，元素0、1、3、5受到条件限制。进一步发现：首位、末位可填元素的集合是真子集关系，因而，从特殊位置入手（分步计数原理）：

第一步，先从1、3、5中选1个填末位，有种；

第二步，再从1、3、5中剩下的2个元素，还有2、4四个元素中选1个填首位，有种；

第三步，最后填中间四位，有种

∴N＝＝288种

（2）首位、末位、元素0、5受到条件限制，进一步发现，首位、末位可填元素的集合交集为，因而，从末位入手按分类计数原理

第一类，当末位填5时，再填首位，则＝96

第二类，当末位填0时，＝120

∴N＝96+120＝216

评：分析受条件限制的元素、位置的特点，找出合适的入手点，确定分步、分类的标准。

例3：一杂技团有8名会表演魔术或口技的演员，其中有6人会表演口技，有5人会表演魔术，今从这8名演员中选出2人，1人表演口技，1人魔术，则选法种数为多少种？

分析：8名演员中，3人只会口技，2人只会魔术，3人二者都会。8

名演员看作8个不同元素，二者都会的3人是3个特殊元素—“多面手”，口技、魔术看作两个不同空位。

解法一：从特殊元素“多面手”入手（分类计数原理）

（1）若“多面手”不出场，则有种；

（2）若“多面手”有一人出场：①“多面手”表演口技，有种；②若“多面手”表演魔术，有种。

（3）若“多面手”有2人出场，1人表演口技，1人表演魔术，则有种。

∴N＝种

解法2：从位置魔术入手，第一类，选“多面手”时，第二类，不选“多面手”时，∴N＝15+12＝27

解法3：从位置口技入手第一类：选“多面手”时，

第二类：不选“多面手”时，＝15∴N＝12+15＝27

评：多掂量元素与位置，找出最佳入手点：位置。

在解排列组合问题时，要善于把握元素、位置这两个对象，揭示本质，就可以正确地解决问题。