浅谈初中数学用待定系数法求二次函数解析式的一般方法

浅谈初中数学用待定系数法求二次函数解析式的一般方法

焦敏

焦敏内蒙古太仆寺旗宝昌第四中学027000

数学知识的掌握，对于学生来说，往往会觉得枯燥；数学知识的教学，对于老师来说，时常会觉得乏味。但只要教师试着把数学问题融于生活，就会体验出数学的趣味和作用，这对学生实践能力、创新能力和解决问题能力的培养都是很有利的。把所要解决的问题转化归结为另一个较易解决的问题或者已经解决的问题，即化难为易、化繁为简、化未知为已知。在教学实践中，我不断地总结，尽量把所授知识系统化、条理化，便于学生实际应用，从而提高了解题的效率。二次函数综合了初中数学所学的函数知识，它把一元二次方程、三角形等知识综合起来，是初中数学各种知识的总结。二次函数作为一类重要的数学模型，将在解决有关实际问题的过程中发挥重要的作用。求二次函数解析式的方法很多，解题时可根据题目所给的条件灵活选用，这样能使解题简便。

怎样求二次函数解析式？下面谈一下笔者的一些粗浅的认识，具体总结到如下几点：

一、一般式

若已知抛物线上三个点的坐标，则选用一般式y=ax2+bx+c。

例如：已知二次函数的图像过点（-1,0）、（1,6）、（-2,3），求二次函数的解析式。

分析：根据待定系数法，把点（-1,0）、（1,6）、（-2,3）代入一般式y=ax2+bx+c，得到三元一次方程组，从而解出a=2、b=3、c=1，就得到了二次函数的解析式y=2x2+3x+1。

二、交点式

若已知抛物线与x轴的两个交点坐标（x1,0）、（x2,0），则选用交点式y=a(x-x1)(x-x2)。

例如：已知抛物线与x轴的交点为(1,0)、(3,0),顶点的纵坐标是3，求该抛物线的解析式。

分析：由于抛物线与x轴的交点为(1,0),(3,0),所以对称轴为x=2，即顶点坐标为（2，3）。用待定系数法，设抛物线的解析式为交点式y=a(x-x1)(x-x2)，便可以确定该抛物线的解析式。

三、顶点式

若已知抛物线的顶点坐标（或对称轴和最值），则选用顶点式y=a(x-h)2+k。

例如：已知抛物线的顶点坐标为（2，-4），它与x轴的一个交点的横坐标为1，求该抛物线的解析式。

分析：本题给出了抛物线的顶点和与x轴的一个交点，因此可采用顶点式。设抛物线的解析式为顶点式y=a(x-h)2+k，代入顶点坐标（2，-4），得到y=a(x-2)2-4。又因为抛物线与x轴的一个交点的横坐标为1，所以抛物线过点（1,0），由此可以求出抛物线的解析式。

四、其它式

1.顶点在原点

若已知抛物线的顶点在原点，则可设为y=ax2。

例如：抛物线的顶点在原点，且经过点（2,3），求二次函数的关系式。

分析：可设二次函数的解析式为y=ax2，把点（2,3）代入，解出a的值，从而确定了抛物线的解析式。

2.顶点在坐标轴上

(1)若顶点在y轴上，则可设为y=ax2+k。

例如：已知抛物线的顶点在y轴上，且图像经过点（1,2）、（-2,4），求抛物线的解析式。

分析：抛物线的顶点在y轴上,则可设抛物线的解析式为y=ax2+k,且图像经过点（1,2）、（-2,4）,根据待定系数法，代入可求出a和k的值，就可确定抛物线的解析式。

(2)若顶点在x轴上，则可设为y=a(x-h)2。

例如：已知二次函数图像的顶点在x轴上，且经过点（2,3）、（3,12），求二次函数的关系式。

分析：二次函数图像的顶点在x轴上，则可设二次函数的解析式为y=a(x-h)2，把点（2,3）、（3,12）代入，便求得a=3、h=1，于是求得二次函数的解析式为y=3(x-1)2，化为一般式为y=3x2-6x+3。

应用顶点式和交点式求二次函数的解析式时，一定要注意对公式中符号的处理，最后所得关系式一定要化成一般式。

求二次函数解析式的几种方法之间是相互联系的，而不是孤立的，不同的设法是根据不同的已知条件来确定的。在选用不同的设法时，应具体问题具体分析，特别是当已知条件不是上述所列举的几种情形时，应灵活地运用不同的方法来求解，以达到事半功倍的效果。例如下面这道题就有几种不同的方法确定二次函数的解析式：已知二次函数的图像过点（-1,0）、（3,0），顶点的纵坐标为2，你能用几种方法确定该二次函数的解析式？因为二次函数图像的顶点在对称轴上，且图像过（-1,0）、（3,0）两点，所以对称轴为x=1,即顶点坐标为（1,2）。

方法①：根据抛物线过（-1,0）、（3,0）、（1,2）三点，可用一般式来确定二次函数的解析式。

方法②：抛物线的顶点为（1,2），可根据顶点式来确定二次函数的解析式。

方法③：（-1,0）、（3,0）是抛物线与x轴的两个交点，可用交点式来确定二次函数的解析式。

由此可以看到，数学知识一题多解的灵活性。

总之，求二次函数解析式不同的设法是根据不同的已知条件来确定的。在教育教学实践中，要注重培养学生发现数学规律、探求模式的能力以及灵活应用数学意识和解决实际问题的能力。