浅谈反证法在中学数学中的应用

浅谈反证法在中学数学中的应用

程俊云

程俊云（湖北省黄冈市蕲春县毓华中学湖北省黄冈市435327）

中图分类号：G688.2文献标识码：A文章编号：ISSN0257-2826（2019）09-127-02

1.反证法的概念与来源

1.1反证法的概念

反证法是一种间接法，证明定理的一种方法，先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理，也叫归谬法.反证法是一种间接证法，它不直接证明论题“若A则B”（即A→B）为真，而是从反面去证明它的否定命题“既A且B”为假，从而肯定“若A则B”为真的证明方法.

1.2反证法的来源

1.2.1古希腊的反证法

反证法,无论是逻辑上的还是数学上的，它的概念都是一致的.即是反证法是证明的一种方法.西方数学在毕达哥拉斯学派的影响下，认为万物皆数.但随着这个表征数学史第一次危机“根号2”的问题的出现，使得希腊人重新审视了自己的数学，这最终导致希腊人放弃了以数为基础的几何.

1.2.2中国古代数学的反证法

在我们中国的传统数学中，本身对于演绎的证明一般就不太重视，而且中国传统逻辑学的不完备，尽管我们中国的先辈们认识到了一些逻辑规律，并且在魏晋时期就已经大兴辩难之风，但是他们大多使用的都是类似于反驳，在他为《九章算术》作注释时也多次采用了归谬论证法，墨子也使用归谬法.但是应该指出，明确的反证法的用法却是凤毛麟角，在这一点上与西方存在着差别极大，而在中国数学中，即便是刘徽这位我国古代在理论与逻辑方面都很擅长的数学大师，也只是用到了反驳(如：举反例).

1.2.3反证法的其他来源

①墨子的“归谬法”

例如：“学之益也,说在诽者.”通过证明“学习无益”是假，而得到“学习有益”的命题是真.这是一个非常有意思的反证法的特例.而将其归为归谬论证欠妥切，归谬是反驳的一种方法，显然在这里是证明一个命题为真.

②刘徽的“证伪法”在我们的数学中，我们都只将证明与反驳对应为直接证明、归谬法(如反例法)与间接证明(如反证法).从这意义来说,刘徽他并没有使用过反证法，他仅仅只是在使用归谬法，只是在推翻一些假命题，即在证伪.

1.3反证法的一般步骤

学习反证法应把握它的一般步骤:

反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；

归谬：将“反设”作条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾.

结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立.

具体方法：

命题r=在C下，若A则B

反证：若A则￢B，证明￢B与A的矛盾

例1求证A(原论题)

证明(1)设非A真(非A为反论题)

(2)如果非A，则B(B为由非A推出的论断)

(3)非B(已知)

(4)所以，并非非A(根据充分条件假言推理的否定后件式)

(5)所以，A(非非A=A).

例2如果a是大于1的整数，而所有不大于a的素数都不能整除a，则a是素数.

证明假设a是合数，记a=bc(b、c∈Z，且b，c＞1)，由于a不能被大于1且不大于a的素数整除，所以b＞a，c＞a，从而bc＞a，这与假设a=bc矛盾，故a是素数.

2.反证法的适用范围

究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证题的实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便.

2.1否定性命题

即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功.

例3求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角.已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个内角.求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个钝角.

证明假如∠A，∠B，∠C中有两个钝角，不妨设∠A＞900,且∠B＞900，则∠A+∠B+∠C＞1800.这与“三角形内角和为1800”这一定理相矛盾.故∠A，∠B均大于900不成立.所以一个三角形不可能有两个钝角.

2.2限定式命题

即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题.

例4求证：素数有无穷多个.

证明假设素数只有n个：P1、P2……Pn，取整数N=P1?P2……Pn+1，显然N不能被这几个数中的任何一个整除.因此，或者N本身就是素数（显然N不等于“P1、P2、……Pn中任何一个），或者N含有除这n个素数以外的素数r，这些都与素数只有n个的假定相矛盾，故素数个数不可能是有限的.

2.3某些存在性命题

例5设x，y∈(0,1)，求证:对于a,b∈R,必存在满足条件的x，y，使|xy-ax-by|≥31成立.

证明假设对于一切x，y∈〔0,1〕使|xy-ax-by|＜31恒成立，

令x=0，y=1，则|b|＜31令x=1，y=0，得|a|＜31令x=y=1,得|1-a-b|＜31.但|1-a-b|≥1-|a|-|b|＞1-31-31=31产生矛盾，故欲证结论正确.

2.4一些不等量命题的证明

如：不等式，反证法是证明它的一种重要方法，但当结论反面有无穷多种情况时，一般不宜用反证法.

2.5基本命题

例6.求证：两条相交直线只有一个交点.已知：如图，直线a、b相交于点P，求证：a、b只有一个交点.

证明假定a，b相交不只有一个交点P，那么a,b至少有两个交点P、Q.于是直线a是由P、Q两点确定的直线，直线b也是由P、Q两点确定的直线，即由P、Q两点确定了两条直线a，b.与已知公理“两点只确定一条直线”相矛盾，则a，b不可能有两个交点，于是两条相交直线只有一个交点.

2.6整除性问题

例7.设a、b都是整数，a2+b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除.证明假设a、b不都能被3整除.

分三种情况讨论：

（1）a、b都不能被3整除，因a不能被3整除，故a2不能被3整除，同理，b2不能被3整除，所以a2+b2也不能被3整除，矛盾.

（2）a能被3整除，b不能被3整除，可得a2能被3整除，b2不能被3整除，故a2+b2也不被3整除，矛盾.

（3）同理可证第三种情况.由（1）（2）（3）得，原命题成立.

参考文献

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