指数、对数函数的图象特征拾遗

指数、对数函数的图象特征拾遗

彭洪兵

彭洪兵（四川省都江堰八一聚源高级中学，四川都江堰611830）

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1673-0992（2010）08-129-02

摘要：全面把握指对数函数图象性质，本文探究了指数函数与直线y=x的交点及交点个数，以及指数函数和与其互为反函数的对数函数的交点个数。对上述性质的探究有助于增强对函数性质的理解，同时有助于学生形成正确的知识认知过程和结论形成过程。

关键字：图象；性质；交点；反函数；归纳；转化

一、容易被误读的一组图像：

这是高一“对数函数的图像与性质”中的一组图像。课本以这组图像为例，归纳出一般情形下的对数函数的图像及其特征，体现了教材注重对学生的观察、实验、比较、归纳、抽象等能力的培养。但它很容易被误读，而且我们看到，囿于现代教育技术的缺乏，在过去的教学实践中，这组图像在学生思维中留下了以下的印象：

1.当a＞1时，函数f（x）=ax的图象与y=x的图象无公共点，仅在0＜a＜1时，它们才有公共点；

2.当0＜a＜1时，函数f（x）=ax的图象与它的反函数的图象有唯一公共点，且在直线y=x上。

果真如此吗？我们应注重对学生进行归纳能力的培养，但不能让学生人这么草率（或者说片面）地下结论。应该说随着教育技术的日渐成熟，也使我们的数学教育研究也可以象物理、化学等学科一样在实验和理论思辩这两个层面上展开。思维严谨者只要利用《几何画板》进行数学验，就可以轻松解决该问题。使用《几何画板》的绘图功能，我们看到了出人意料的结果：

1.a＞1时，函数f（x）=ax的图象与直线y=x的图象也可能有公共点。

下图1为函数y=1.4x的图象，它与直线y=x有两个公共点。

2.0＜a＜1时，函数y=a（ax＞0,a≠1）的图象与其反函数的图象的公共点至多有3个。

下图2给出了函数g(x)=0.04x和h（x）=log0.04x图像的相交情形。其中虚线为函的图像，甚至我们还可以给出一个学生容易自己验证的实例：

函数y=logx与它的反函数y=()x有两个不在直线y=x上的公共点(,),(,）。

二、从实验数学到思辩数学

以上的图例和实例使得我们想了解：

（1）底数满足什么条a件时，函数f(x)=ax(a＞0,a≠1)的图象与y=x的图象有公共点？

（2）函数f(x)=ax(a＞0,a≠1)的图象与其反函数的图象的公共点的个数以及个数与底数a的关系。

结论一：（本文中的e都是自然对数的底数）

1.当1＜a＜e时，函数f(x)=ax(a＞0,a≠1)的图象与y=x的图象无公共点；

2.当1＜a＜e时，函数f(x)=ax(a＞0,a≠1)的图象与y=x的图象有两个不同的公共点；

3.当0＜a＜1或1＜a＜e时，函数f(x)=ax(a＞0,a≠1)的图象与y=x的图象有唯一公共点；

证明：先考虑a＞。令f(x)=ax-x，则f(x)的导数：f1(x)=ax1na-1

我们知道，F1(x)≥0<=>F(x)为增函数，F1(x)≤0<=>F(x)为减函数

由f1(x)＞0得ax=longe，即x＞log(loge)，

令log(loge)=x，

可知，f(x)=ax-x在(-∞x0上为减函数，在(x0,+∞)上为增函数，

f(x0)为最小值，且f(x0)=ax0-x0=logae-loga(logae)

（1）当最小值f(x0)＞0时，f(x)＞0，即ax-x＞0,ax＞x，函数f(x)=a(x)=ax(a＞1)的图象与y=x的图象无公共点。

由f(x0)e＞logaea＞e

即a＞e时，函数f(x)=ax(a＞0,a≠1)的图象与y=x的图象无公共点；

（2）当最小值f(x0)=0即a＞e时，函数f(x)=ax(a＞1)的图象与y=x的图象有唯一公共点。此时交点坐标是(e,e)；

（3）当最小值f(x0)＜0即1＜a＜e时，函数f(x)=ax(a＞1)的图象与y=x的图象有两个不同的公共点；

（4）同理可证0＜a＜1时，f(x)=ax的图象与y=x的图象必有公共点且唯一.

综上所述，结论一成立。

结论二：

1.当1＜a＜e、a=e、a＞e、时，函数y=ax的图象与其反函数的图象分别有两个、一个、零个公共点；

2.当e-e≤a＜1时，函数y=ax的图象与其反函数的图象有唯一公共点,且在直线y=x上；

3.当0＜a＜e-e时，函数y=ax的图象与其反函数的图象有三个公共点。

证明：

（1）由结论一，容易证明该题结论。

（2）令G(x)=ax-logax(0＜a＜1＝＝,x＞0

考虑函数G(x的单调性。

先求G(x)的导数：G1(X)=ax1na-

显然，G(x)为增函数<=>G(x)=ax1na-＞0<=>axx<（*）

令H(x)=ax.x

求得H1(x)=xax1na+ax

由H1(x)=xax1na+ax＞00＜x＜-

可知，函数h(x)=ax.x在(0,-)上为曾数在（-，+∞）上为减函数

最大值为H（-）=-

当-≤即e≤a≤1时，

由于H(x)=ax.x的最大值是-，

所以当x∈（0，+∞）时H(x)ax.x≤恒成立

可知，x∈（0,+∞)时，G1(X)≥0恒成立，当且仅当X=时等号成立

所以，G(x)在（0，+∞）上为增函数。

又由于正数x→0时，G(x)→-∞，而x→+∞时，G(x)→+∞，所以方程G(x)=0有唯一解，

故当e-e≤a≤1时，函数y=ax与其反函数的图象只有唯一公共点,由对称性，公共点必在直线y=x上；

（3）当-＞即0＜a＜e-e时

函数H(x)=ax.x的图象与直线y=有两个不同的公共点，则H(X)=ax.x＜的解集为（0,x1）U（x2，+∞），

即G1(x)＞0的解集为（0，x1）U（x2，-∞），G1(X)＜0，的解集为(X1,X2)

所以G(X)=ax-logX0＜a＜1在区间（0，x1）和（x2，-∞）上为增函数，在区间（x1,x2）上为减函数。

由函数y=ax与y=logax图像的对称性，可知极大值G(X1)与极小值个G（x2）

必互为相反数，且是G（x1）＞0，G（x2）＜0

又由于正数x→0时，G(x)→-∞，而x→+∞时，G(x)→+∞，

函数G(X)的大致图像如下：

由函数G(X)的的连续性，其图象与x轴必有三个公共点。即方程G(X)=0,ax-logax=0有三个解，

故当0＜a＜e-e时，函数y=ax与其反函数的图象有三个公共点。

综上所述，结论二成立。无论是探究问题的本质还是寻求解决问题的方式方法都是高中数学学习的重要目标。在探究指对数函数的交点是否存在和交点个数时，建议教师对学生在这两方面进行引导。同时也可以进行知识的扩展延伸，引导学生进一步的思考（比如让学生思考原函数与反函数的交点位置以及个数等等），从而最终达到促进学生能力提升这一目的。

参考文献

【1】《浅谈高中学数学教材教法》作者高良胜

【2】《中学数学教学参考》2009年