对《两角差的余弦公式》推导的思索

对《两角差的余弦公式》推导的思索

王敏

江苏省南京市临江高级中学210000

数学概念、公式是自然的，不能强加于人。知识背景、形成过程，应该是合情推理、水到渠成的。学习贵于疑，而问题是数学学习的“心脏”。可通过创设问题情境，引入需要学习的内容，然后引导学生自己发现问题、提出问题、思考问题，经历实践动手、自主学习、主动探索，不断地从具体到抽象，从特殊到一般，形成批判性的理性思维和严谨的科学态度。

首先通过章头图实际问题的引入，又作恰当的数据改变，起点要低，要浅，让学生感受到研究两角差的余弦公式的必要性，通过求cos15°的特殊问题，引起学生学习兴趣。学生能轻易地解决，然后作相应的推广，引发知识矛盾冲突，同时明确探究目标。推导过程分四个层次：一是直觉精神，主要通过计算猜想两角差余弦公式，特殊验证，作出初步决策。二要适当地点拨推广，在α、β、α-β为锐角的情形下，在初中平面几何知识内的探究。要贴近学生实际知识水平，从头至尾要反思探索过程，让学生回忆高中数学知识中的三角函数定义及单位圆上的三角函数线来研究问题。这样从多种途径对《两角差的余弦公式》的推导，有助于学生理解公式，加强数学内容之间的联系，增加学生利用已学过的知识来解决实际问题的机会。只是上面的推导过程比较繁难，而且都在特殊情况下进行。三是对一般情形的探究，主要是应用三角函数定义、向量的数量积的知识来推导，让学生体会运用向量工具进行探索，过程多么简洁，从而进一步深化向量的丰富知识背景。认识它是沟通代数、几何和三角函数的一种工具，运用向量解决问题可以发展自身的推理能力和运算能力，然后让学生发现推导过程不严谨之处，请学生补充完善。四是对探究过程的反思升华，应用三角函数定义及两点间距离公式推导公式。这样的教学过程符合数学研究问题的规律，使学生感受到学习探究过程是不断猜想、不断矫正、从特殊到一般的思考过程。

二、问题悬念，激发知识矛盾

三、展开联想，回归定义引申

由于涉及的是三角函数问题，学生会考虑回到基础定义，可用单位圆上的三角函数线来推导。教师要利用多媒体，积极引导学生经历“作角——找线——找探求过程中的等量关系”。

四、多种途径，运用向量推导

以上推导过程都是在α、β、α-β都是锐角，且α>β的情况下得到，而且推导过程和推广工作非常艰难。学生在第二章已学习了向量是解决几何问题的有力工具，有着极其丰富的实际背景。我们可通过提出问题暗示，从合情推理过渡到逻辑推理。在第二章向量中用什么知识可求cosθ的值？这种开放性提问暗示，学生的眼光会发出色彩，开拓了学生思维的空间。人教版已有，这里从略。在探索过程中，我们不必追求一步到位，先不理会其中的细节，抓住线索，明确目标进行探索，然后再反思在哪些方面需要完善，体现了数学发现的一般方法。一方面引导学生朝着正确的目标前进，体会向量方法的作用；另一方面，采用设问的方式，关注学生思维的漏洞，帮助学生完善。通过多种途径思考，培养学生的自主探究能力，对向量的坐标表示以及向量数量积运算有了进一步的理解。同时，推导过程的补充完善，对形成严谨的数学思维品质有益处。

五、反思过程，提炼解题方法

反思以上学生的推导过程，提炼出如此经典的方法，真是“柳暗花明又一村”，我用赞赏的眼光大胆地表扬了学生。学生在“试一试”“猜一猜”“证一证”“用一用”的过程中体会到向量是好东西，也体现了数学的科学性与艺术性是相结合的。在忠于教材又不拘泥于教材的处理过程中，通过合作学习，合理探索，互动交流，学生的学习是舒适的。在发掘、归纳、不断提升中增厚了学生的学习兴趣，培养了学生的理性精神和严谨科学的态度。在运用多种途径解决问题过程中，发散学生的思维，提高处理问题的能力，有助于理解公式，深化加强数学文化的修养。在对知识探索的过程中，在学习实践中，学生有所感悟、有所体验、有所提高，同时感受、理解知识产生和发展的过程，形成了数学的科学精神和创新思维的习惯。从学生已有知识、经验、方法出发，在教师引导下提出解决问题的门径，引导学生“自得”，激发了学生的探究精神和主动参与到学习活动中来。

在“算一算”“试一试”“猜一猜”“证一证”的过程中，不拘泥于教材，又忠于教材的处理，体现了数学学习的科学性和艺术性相统一。在对传统教学的反思、对新课程理念的思考、对教材的分析的基础上，通过合作学习、合理探索、师生互动的教学过程，能提高学生的数学应用意识和创新意识，从而提高学习数学的兴趣，逐步认识数学的应用价值和文化价值。在以教学内容为知识载体、以教学目标为灵魂出发点的探索过程中，通过一题多解，纵向联系，多种途径推导，聚沙成塔，日积月累，能拓展学生的数学视野，形成严谨的思维品质和锲而不舍的科学精神。